离散时间系统分析及MATLAB实现

离散时间系统分析及MATLAB实现 摘自：张登奇,周婷,梁莺.离散时间系统分析及MATLAB实现[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2009,(03) 摘 要：线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。文章从系统的分析流程、系统模型的创建、时域分析、频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍了线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举了MATLAB实现程序。 关键词：MATLAB；离散时间系统；系统分析；传输函数 离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。差分方程反映了系统输入与输出的运动状态，是在时域描述系统的通用数学模型；系统函数是零状态下系统输出与输入的Z变换之比，在时域与频域之间起桥梁作用。分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下，从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系，前者重点研究系统的时间特性，后者主要研究系统的频率特性。下面从系统分析流程、系统模型创建、系统时域分析、系统频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举MATLAB在系统分析过程中的具体应用。 3 系统的时域分析 系统的时域分析主要包括求表征系统时间特性的单位脉冲响应特征量和在时域求解系统输出两方面内容。 3.1 单位脉冲响应的计算 根据差分方程求解单位脉冲激励下系统的零状态响应，或将系统函数进行Z反变换都可算出系统的单位脉冲响应，具体算法可参见参考文献[3]。在MATLAB中描述系统的差分方程或系统函数都是用系数向量表示，调用impz函数就可直接算出系统的单位脉冲响应。如实例1描述的系统，其单位脉冲响应的计算及显示程序如下： b=[0.3,0.06,0,0]; %系数向量不齐后面补0 a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; %系数向量不齐后面补0 [hn,n]=impz(b,a,16), %列向求出16点单位脉冲响应 stem(n,hn, . ); grid; %绘制点状图并加网格 xlabel( n );ylabel( hn );title( 单位脉冲响应 ); 若要写出闭环形式，可调用residuez函数将系统函数展开成部分分式形式，再通过查表求Z反变换即可。 3.2 系统输出的时域计算 在时域上计算离散时间系统的输出，实际上就是直接求解差分方程或作卷积运算。参考文献[3]列举了迭代法、时域经典法、卷积法等常用方法及应用实例。考虑到分析系统的目的在于综合，系统设计时不存在初始问题，因此，分析系统响应重点分析零状态响应。只要掌握了分析系统的概念、原理和方法，繁杂的计算可由MATLAB完成。 实例2：试计算实例1中，当输入序列分别为单位脉冲、单位阶跃和一般序列时，系统的输出响应。 方法1：调用filter函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; x1=[1,zeros(1,15)]; %产生16点单位脉冲序列 x2=ones(1,16); %产生16点单位阶跃序列 x3=exp(-0.2*[0:15]); %用指数序列代表一般序列 y1=filter(b,a,x1), %计算单位脉冲响应 y2=filter(b,a,x2), %计算单位阶跃响应 y3=filter(b,a,x3), %计算一般序列响应 方法2：调用conv函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; [hn,n]=impz(b,a,16); %求出16点单位脉冲响应 x=exp(-0.2*(0:15)); %输入或产生一般序列 y1=conv(hn,x), %用线性卷积求系统响应 y2=filter(b,a,x), %用系统函数求系统响应 k=1:16;dy=y1(k)-y2(k), %两种计算的误差对比 结果表明，用有限长单位脉冲响应序列代替无限长单位脉冲响应系统会有一定的误差，但可通过增加单位脉冲响应的长度逼近。 4 系统的频域分析 系统的频域分析主要包括求表征系统频率特性的频率响应特征量和在频域求解系统输出两方面内容。 4.1 频率响应的计算 稳定系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的取值，计算系统的频率响应，可将系统函数中的Z变量用代入即可得到。频率响应是一个复函数，其模叫幅度响应，其相角叫相位响应，它反映了输入序列的频谱经系统后所发生的变化规律。从幅频曲线上可直观看到各频率分量的幅度变化情况，从相频曲线上可直观看到各频率分量的相移情况。根据频响曲线分析系统对信号频谱的影响，概念清楚、简单直观，对信号综合也意义重大，但要将一个较复杂的频率响应复函数转化成幅度响应和相位响应并图示，计算量大且容易出错，图示结果也不一定精确。利用MATLAB函数这些问题都迎刃而解。 实例3：利用MATLAB函数计算实例1中离散系统的频率响应并图示。 由系统函数绘制频响曲线的程序如下： N=100; w=[0:(N-1)]*2*pi/N; %确定频点 z=exp(j*w); %求频点对应的z点 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; Hz=polyval(b,z)./polyval(a,z); %求各频点的频响 subplot(2,1,1),plot(w/pi,abs(Hz)) %绘制幅频曲线 xlabel( w *pi ),ylabel( abs(Hz) ) %加标签 grid; title( 幅频特性 ); %加网格和标题 subplot(2,1,2),plot(w/pi,angle(Hz)) %绘制相频曲线 xlabel( w *pi ),ylabel( angle(Hz) ) %加标签 grid,title( 相频特性 ); %加网格和标题 绘制的频响曲线如图3所示，由图可知系统有低通效果，且通带内有较好的线性相位。该程序过程清晰、容易理解，但调用freqz函数则更加简便。 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; freqz(b,a); %直接绘出频响曲线 顺便指出，MATLAB函数一般有多种用法，如freqz函数还可求指定点数或指定频点的频率响应等，本文大多只用了函数的基本用法，各函数的详细应用可参考help命令或参见帮助系统了解。 图3 系统的频响曲线 4.2 系统输出的频域计算 在频域上计算离散时间系统的输出，实际上就是利用Z变换或离散傅里叶变换，将时域的卷积运算变换到频域的相乘运算，再将频域运算结果反变换到时域，从而得到最终结果。其中，Z变换法是手工计算的常用方法，特别适合于输入序列的Z变换能写成闭合形式的情形。当输入序列是不能写成闭合形式的数据时，用Z变换法计算就很不方便，此时可改用离散傅里叶变换实现系统响应的频域计算。由于有快速算法，离散傅里