【线性代数与矩阵论】矩阵的酉相似_酉相似矩阵-程序员宅基地

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矩阵的酉相似（合同变换）

2023年11月7日
#algebra

文章目录

1. 酉矩阵

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ，若 A {A} A 满足
A H A = A A H = I A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H=I AHA=AAH=I
则称 A {A} A 为酉矩阵（）。由定义可得
A − 1 = A H A^{-1}=A^ \mathrm H A−1=AH
当 A ∈ R n × n {A\in \mathbb R^{n \times n}} A∈Rn×n ，酉矩阵就是单位正交矩阵。
性质 若 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是酉矩阵，则

  1. ∣ det ⁡ A ∣ = 1 {|\det A|=1} ∣detA∣=1
  2. A T , A H , A − 1 {A^T,A^H,A^{-1}} AT,AH,A−1 仍为酉矩阵
  3. 若 B {B} B 也是酉矩阵，则 A B {AB} AB 也是酉矩阵

显然，酉矩阵列向量是空间中一组标准正交基，这是酉矩阵的充要条件。

2. 酉相似

设 A , B ∈ C n × n {A,B\in \mathbb C^{n \times n}} A,B∈Cn×n ，若存在酉矩阵 U {U} U 使得
B = U − 1 A U = U H A U B=U^{-1}AU=U^ \mathrm HAU B=U−1AU=UHAU
则称 A {A} A 与 B {B} B 酉相似。
相似变换与逆矩阵有关，相似变换前后的矩阵为相似矩阵。
合同变换与酉矩阵有关，合同变换前后的矩阵为合同矩阵。

3. Schur分解定理

设 ∀ A ∈ C n × n \forall A\in \mathbb C^{n \times n} ∀A∈Cn×n ，若存在酉矩阵 U {U} U 使得
T = U − 1 A U = U H A U = [ λ 1 t 12 ⋯ t 1 n 0 λ 2 ⋱ ⋮ 0 0 ⋱ t ( n − 1 ) n 0 0 0 λ n ] T=U^{-1}AU=U^ \mathrm HAU= \begin{bmatrix} \lambda_1 & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & t_{(n-1)n}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n \end{bmatrix} T=U−1AU=UHAU= ​λ1​000​t12​λ2​00​⋯⋱⋱0​t1n​⋮t(n−1)n​λn​​ ​
其中 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1​,λ2​,⋯,λn​ 是 A {A} A 的特征值，即任意 A {A} A 都可酉相似与一个上三角矩阵 T {T} T 。

4. 正规矩阵

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 满足
A H A = A A H A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H AHA=AAH
则称A为正规矩阵。正规矩阵有以下类型：

  1. 实对称矩阵 A ∈ R n × n , A T = A {A\in \mathbb R^{n \times n}, A^ \mathrm T =A} A∈Rn×n,AT=A
  2. 实反对称矩阵 A ∈ R n × n , A T = − A {A\in \mathbb R^{n \times n}, A^ \mathrm T =-A} A∈Rn×n,AT=−A
  3. 实正交矩阵 A ∈ R n × n , A T A = A A T = I {A\in \mathbb R^{n \times n}, A^ \mathrm T A=AA^ \mathrm T=I} A∈Rn×n,ATA=AAT=I
  4. Hermit矩阵 A ∈ C n × n , A H = A {A\in \mathbb C^{n \times n}, A^ \mathrm H=A} A∈Cn×n,AH=A
  5. 反Hermit矩阵 A ∈ C n × n , A H = − A {A\in \mathbb C^{n \times n}, A^ \mathrm H=-A} A∈Cn×n,AH=−A
  6. 酉矩阵 A ∈ C n × n , A H A = A A H = I {A\in \mathbb C^{n \times n}, A^ \mathrm H A=AA^ \mathrm H}=I A∈Cn×n,AHA=AAH=I

正规矩阵不一定是以上六类矩阵。

5. 酉相似对角化

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ，则A可酉相似对角化的条件是
A H A = A A H A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H AHA=AAH
即A为正规矩阵。方法如下：

  1. 求出A的全部特征值，和相应的重数
  2. 对这些特征值求特征向量
  3. 对特征向量做schmidt正交化

6. Hermit矩阵，反Hermit矩阵及酉矩阵的特性

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ，则

  1. A {A} A 是Hermit矩阵    ⟺    \iff ⟺ A {A} A 的特征值全是实数
  2. A {A} A 是反Hermit矩阵    ⟺    \iff ⟺ A {A} A 的特征值是 0 {0} 0 或纯虚数
  3. A {A} A 是酉矩阵    ⟺    \iff ⟺ A {A} A 的特征值的模是 1 {1} 1
  4. λ {\lambda} λ 是 A {A} A 的特征值， x {x} x 是对应 λ { \lambda} λ 的特征向量，则 λ ˉ {\bar \lambda} λˉ 是 A H {A^ \mathrm H} AH 的特征值，对应 λ ˉ {\bar \lambda} λˉ 的特征向量仍为 x {x} x

7. Hermit矩阵的正定性

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵，如果
x H A x > 0 , ∀ x ∈ C n , x ≠ 0 x^ \mathrm HAx>0, \forall x\in \mathbb C^{n},x\ne 0 xHAx>0,∀x∈Cn,x=0
则称 A {A} A 是一个正定的Hermit矩阵。
如果
x H A x ≥ 0 , ∀ x ∈ C n , x ≠ 0 x^ \mathrm HAx\ge0, \forall x\in \mathbb C^{n},x\ne 0 xHAx≥0,∀x∈Cn,x=0
则称 A {A} A 是一个半正定的Hermit矩阵。

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵，则下述条件等价

  1. A {A} A 是正定的Hermit矩阵
  2. A {A} A 的特征值全为正数
  3. 存在可逆矩阵 P {P} P 使得 A = P H P {A=P^ \mathrm HP} A=PHP
  4. A {A} A 的顺序主子式全为正数

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵，则下述条件等价

  1. A {A} A 是半正定的Hermit矩阵
  2. A {A} A 的特征值全为非负数
  3. 存在可逆矩阵 P {P} P 使得 A = P H P {A=P^ \mathrm HP} A=PHP

设 A ∈ C m × n {A\in \mathbb C^{m \times n}} A∈Cm×n ，则

  1. A H A {A^ \mathrm HA} AHA 和 A A H {AA^ \mathrm H} AAH 的特征值全为非负实数
  2. A H A {A^ \mathrm HA} AHA 和 A A H {AA^ \mathrm H} AAH 的非零特征值相同
  3. rank ( A H A ) = rank ( A A H ) = rank ( A ) {\text{rank}( A^ \mathrm HA)= \text{rank}( AA^ \mathrm H)= \text{rank}(A)} rank(AHA)=rank(AAH)=rank(A)

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