学习数学系列<一>_数学域和上域教学_心若为城的博客-程序员秘密

<内容摘自《微积分摘要》&& 《高等数学PPT》>
由于标题写高数有圈粉嫌疑，所以还是写一些比较朴素的名字。
实际上这个算是高等数学的学习。
前几天被一位神犇虐数学虐到哭所以自己还是默默地拿起了书。
进入正题：

<第一节>
1.1集合的映射
如果有一种规律f使得A中每一个元素 $x$ 都能与B中的唯一确定的元素 $f(x)$ 对应，那么则称 $f$ 为一个从A到B的映射。
记作：

f : A - > B

$f:A->B$

A $A$ 叫做

f $f$ 的 定义域，

f(x)∈B $f(x) \in B$ 叫做

x $x$ 在映射

f $f$ 下的像或者

f $f$ 在

x $x$ 上的值，B为

f $f$ 的值域。
定义域的字母：

D $D$
值域的字母：

Rf（这里因为对应规则为f，所以下标为f） $R_f（这里因为对应规则为f，所以下标为f）$
单射：

∀x,y∈A,x≠y,f(x)≠f(y) $\forall x,y\in A,x \not = y,f(x) \not = f(y)$
满射：

f(A)=B $f(A) = B$
双射：既是单射也是满射。
~~然后我们把第二章跳过~~

1.3函数：
如果对于映射 $f:X - > Y(X,Y \in R)$ 那么 $f$ 称作一个函数。
设 $f$ 与 $g$ 是两个函数，定义域分别为 $A$ 与 $B$ ，那么在 $A ∩ B$ 上有

(f + g) (x) = f (x) + g (x) (x \in A \cap B) .

$(f + g)(x) = f(x) + g(x) (x ∈ A ∩ B).$
则类似的定义也是可行的QAQ(比如减法乘法除法取模)

函数的几种特性：
1.有界性：
I是D的子区间.

\forall x \in D, \exists M > 0, | f (x) | < = M

$\forall x \in D ,\exists M > 0,|f(x)| <= M$
则称f(x)为 有界函数

\forall x \in I, \exists M > 0, | f (x) | < = M

$\forall x \in I ,\exists M > 0,|f(x)| <= M$
则称f(x) 在I上有界
~~当然这个好像看起来很显然~~
2. 单调性：

∀x1,x2∈I,x1<x2时，有f(x1)>f(x2) $\forall x_1,x_2 \in I,x_1 < x_2时，有f(x_1) > f(x_2)$ ，则称

f(x) $f(x)$ 为在

I $I$ 上的 单调增函数。

∀x1,x2∈I,x1<x2时，有f(x1)<f(x2) $\forall x_1,x_2 \in I,x_1 < x_2时，有f(x_1) < f(x_2)$ ，则称

f(x) $f(x)$ 为在

I $I$ 上的 单调减函数。
3.奇偶性：
高中数学都会QAQ
4.周期性：

∀x∈D,∃l>0 $\forall x \in D,\exists l > 0\$ &&

x±l∈D $\ x \pm l \in D$
若

f(x±l)=f(x) $f(x \pm l) = f(x)$
则

f(x) $f(x)$ 为 周期函数，l为周期，

min{ l} $min\{ l \}$ 为 最小正周期。
然而周期函数不一定存在最小正周期。
比如

f(x)=C $f(x) = C$ 这种常量函数。
~~这种东西感觉很蠢~~

反函数：
如果对于函数 $f$ 是在集合 $X - > Y$ 双射，那么有逆映射 $f^{-1}$ ，称作 $f$ 的反函数。

y = f (x) (x \in X)

$y = f(x)(x \in X)$
则有

x = f - 1 (y) (y \in Y)

$x = f^{-1}(y)(y \in Y)$
考虑反函数的性质：
1)

y＝f(x)单调递增 $y＝f (x) 单调递增$ ，其反函数

f−1 $f^{-1}$ 如果存在，那么也是单调递增的。
2)

y=f−1(x)与y=f(x) $y = f^{-1}(x) 与y = f(x)$ 关于

y=x $y = x$ 对称。
比如对数函数和指数函数互为反函数。

复合函数：
设有函数链：
$y = f(u),u \in D_f$
$u = g(x),x \in D,$ && $R_g \subset D_f$
则： $y = f[g(x)],x \in D$

然后因为zxn跑去玩学生端玩了很久，今天先到这里QAQ

本文链接：https://blog.csdn.net/zxn0803/article/details/51569534

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