主成分分析实例

例 9.1 （中学生身体四项指标的主成分分析）

在某中学随机抽取某个年纪30名学生，测量其身高（X1）、体重（X2）、胸围（X3）和坐高（X4），数据如表9.1所示。试对这30名中学生身体四项指标数据做主成分分析。

解析：用数据框的形式输入数据。用princomp()作主成分分析，由前面的分析，选择相关矩阵做主成分分析更合理。因此，这里选择的参数为cor=TRUE。最后用summary()列出主成分分析的值，这里选择loadings=TRUE。以下是相应的程序。

用数据框形式输入数据，做主成分分析，并显示分析结果：

summary()函数列出了主成分分析的重要信息：

• Standard deviation：表示主成分的标准差，即主成分的方差的开方，也就是相应的特征值的开方
• Proportion of Variance：表示的是方差的贡献率
• Cumulative Proportion：表示的是方差的累计贡献率

由于在summary函数的参数中选取了loadings=TRUE，因此列出了loadings（载荷）的内容，它实际上是主成分对应于原始变量X1， X2， X3， X4的系数，即前面介绍的矩阵Q。因此得到：

由于前面两个主成分的累计贡献率已达到96%，另外两个主成分可以舍去，达到降维的目的。

第一主成分对应系数的符号都相同，其值在0.5左右，它反映了中学生身材魁梧程度：身材高大是学生，他的四个部分的尺寸都比较大，因此，第一主成分的值就比较小（因为系数均为负数）；而身材矮小是学生，他的四个部分的尺寸都比较小，因此，第一主成分的绝对值就较大。我们成第一主成分为大小因子。第二主成分是高度和围度的差，第二主成分值大的学生表明该学生“细高”，而第二主成分值越小的学生表明该学生“矮胖”，因此第二主成分为体型因子。

我们看一下各样本的主成分的值（用predict()函数）：

从第一主成分来看，较小的几个值是25号样本、3号样本和5号样本，因此说明这个几个学生身材魁梧。而11号样本、15号样本和29号样本的值较大，说明这几个学生的身材瘦小。

从第二主成分来看，较大的几个值是23号样本、19号样本和4号样本，因此说明这几个学生属于“细高”型；而17号样本、8号样本和2号样本的值较小，说明这几个学生的身材属于“矮胖”型。

画出主成分的碎石图：

还可以画出关于第一主成分和第二主成分样本的散点图，其图形如下所示：

问题：中间的四条箭头的线的作用是什么？？？？

主成分分析的应用

1. 主成分分类

例 9.2 对128个成年男子的身材进行测量，每人各测得16项指标：身高（X1），坐高（X2），胸围（X3），头高（X4），裤长（X5），下档（X6），手长（X7），领围（X8），前胸（X9），后背（X10），肩厚（X11），肩宽（X12），袖长（X13），肋围（X14），腰围（X15）和腿肚（X16）。16项指标的相关矩阵R如表9.2所示（由于相关矩阵是对称的，只给出下三角部分）。试从相关矩阵R出发进行主成分分析，对16项指标进行分类。

解析：首先输入相关矩阵，再用princomp()对相关矩阵做主成分分析，最后画出各变量在第一、第二主成分下的散点图。

输入数据，按下三角输入，构成向量

做主成分分析，并绘制散点图：

由上图中得到：

• 左上角的点看成一类，它们是“长”类：即身高（X1），坐高（X2），头高（X4），裤长（X5），下档（X6），手长（X7），袖长（X13）
• 右下角的点看成一类，它们是“围”类，即身胸围（X3），领围（X8），肩厚（X11），肋围（X14），腰围（X15），腿肚（X16）
• 中间的点看成一类，为体形特征指标：即前胸（X9），后背（X10），肩宽（X12）

2. 主成分回归

在回归分析的章节中，曾经讲过，当自变量出现多重共线性时，经典回归方法回归系数的最小二乘估计，一般效果会较差，而采用主成分回归能够克服直接回归的不足。下面用一个例子来说明如果做主成分回归，并且是如何克服经典回归的不足。

例 9.3 （法国经济分析数据）

考虑进口总额Y与三个自变量：国内总产值X1，储存量X2，总消费量X3（单位为10亿法郎）之间的关系。现收集了1949年至1959年共11年有效数据，如表9.3所示。试对此数据做经典回归分析和主成分回归分析。

解析：输入数据（采用数据框形式），再用一般线性回归方法做回归分析

从计算结果可以看出，按三个变量得到回归方程：

分析该方程，可以发现它并不合理。回到问题本身，Y为进口量，X1是国内总产值，而对应系数的符号却是负，也就说，国内总产值越高，其进口量却越少，这与实际情况并不相符。问其原因，三个变量存在着多重共线性（后面我们将会看到最下特征值接近于0）

Analysis of myself：绘制岭迹图

为了进一步可以看出变量间是否存在多重共线性，可以通过绘制岭迹图进行观察：

可见，在岭迹图中呈现出了“喇叭形”，因此很有可能在变量间存在多重共线性。为了克服多重共线性的影响，对变量做主成分分析回归，先做主成分分析：

从结果中可以看出，前两个主成分已达到99%的贡献率，因此第三主成分可以舍去。

下面做主成分回归，首先计算样本的主成分的预测值，并将第一主成分的预测值和第二主成分的预测值存放在数据框conomy中，然后再对主成分做回归分析：

回归系数和回归方程通过检验，而且效果显著，即得到回归方程;

上述方程得到的是响应变量与主成分的关系，但应用起来并不是很方便，还是希望得到相应变量与原变量之间的关系。由于：

以下通过变换，得到原坐标下的关系表达式：

在程序中，coef函数是提取回归系数，loadings为提取主成分对应的特征向量，conomy.pr$center为数据的中心，也就是数据X的平均值，conomy.pr$scale是数据的标准差，即Sii的开方。因此得到相应的系数，如上图。

即回归方程如下：

此时，对应X1， X2，X3的系数均为正数，比原回归方程更为合理。