技术标签: 算法
在解决最短路问题的时候我们知道的常用的算法有四种:dijkstra 最短路算法 , Bellman-ford最短路算法 , spfa最短路算法 , floyd最短路算法 。接下来我们讲详细的介绍一下这几个算法的区别,我们直接画图来看。
在最短路问题中大致分成两种题型,首先是单源最短路, 最短路两种情况,单源最短路和多源最短路两种情况,首先我们来了解一下什么是单源最短路,什么是多源最短路?
单源最短路 : 解决的是单个起点的最短路问题
多源最短路: 解决的是多个起点的最短路问题
我们接下来来详细的介绍一下这几个算法的实现的过程 。
1.算法思路和算法的适用性
算法的适应性/算法适用的条件
: 算法只能适应在图中只有正权边的情况,无法处理负权的情况。
算法的复杂度
: 算法的实现分成两种方式 ,首先是第一种朴素版的实现针对稠密图为O(n2) ,剩下的一种进行了堆优化的操作 ,时间复杂度为 O(mlogn),用来解决稀疏图, m 为边的数量, n 为点的数量 。
算法思路
: Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的一种贪心算法。算法采用了一个优先级队列来存储节点,从起点开始,依次扩展到与之相邻的节点,并记录到达每个节点的最短路径。
2, 算法的实现
朴素算法的实现
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
const int N = 510 ;
int n , m ;
int g[N][N] ;
int dist[N] ;
bool st[N] ;
using namespace std ;
int dijkstra ()
{
memset(dist , 0x3f , sizeof dist ) ;
dist[1] = 0 ;
//初始化操作
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++ )
{
int t = - 1 ;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
if(!st[i] &&( t == - 1 || dist[i] < dist[t] ))
t = i ;
}
st[t] = true ;
// 完成最小值的判定
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
dist[i] = min(dist[i] , dist[t] + g[t][i]) ;
}
}
// 最后的特判操作
if(dist[n] == 0x3f3f3f3f )
return - 1 ;
else return dist[n] ;
}
int main ()
{
memset( g , 0x3f , sizeof g );
cin >> n >> m ;
for(int i = 0 ; i < m ; i ++ )
{
int a , b , c ;
cin >> a >> b >> c ;
g[a][b] = min(g[a][b] , c ) ;
}
/* 主函数就是完成图的存储 */
cout << dijkstra() << endl ;
return 0 ;
}
主要的算法的流程就是一个循环的递归的操作,首先我们分成主要的三个部分,我们把这个在下面的图中进行解释一下。
这个是简单的完成的相关的简单的朴素的算法。
优化版的 最短路算法
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std ;
const int N = 150010 ;
int n , m ;
typedef long long LL ;
typedef pair<int , int > PII ;
int e[N] , h[N] , ne[N] , idx = 0 , w[N] ;
int dist[N] ;
bool st[N] ;
void add(int a , int b , int c)
{
e[ ++ idx ] = b ;
w[ idx ] = c ;
ne[ idx ] = h[a] ;
h[a] = idx ;
return ;
}
int dijkstra()
{
memset(dist , 0x3f , sizeof dist ) ;
dist[1] = 0 ;
priority_queue < PII , vector <PII> , greater<PII> > heap ;
heap.push({
0 , 1}) ;
while ( heap.size() )
{
PII t = heap.top() ;
heap.pop() ;
int ww = t.first , ver = t.second ;
if(st[ver]) continue ;
st[ver] = true ;
for(int i = h[ver] ; i != - 1 ; i = ne[i] )
{
if(dist[e[i]] > w[i] + ww)
{
dist[e[i]] = w[i] + ww ;
heap.push({
dist[e[i]] , e[i]});
}
}
}
if( dist[n] == 0x3f3f3f3f )
return - 1 ;
return dist[n] ;
}
int main ()
{
cin >> n >> m ;
memset( h , - 1 , sizeof h ) ;
for(int i = 1 ; i <= m ; i ++ )
{
int a , b , c ;
cin >> a >> b >> c ;
add( a , b , c ) ;
}
cout << dijkstra() << endl ;
return 0 ;
}
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