EBU6366 Microwave, Millimeter - Wave ＆ Optical Transmission——Chapter2 Transmission Line Theory 1-程序员宅基地

技术标签：微波

这一章节主要介绍的是传输线的概念、传输线理论的引入、传输线方程的推导、在稳态状态下传输线均匀的情况下传输线方程的解以及传输线的特征参数。

1. 传输线的概念

首先，什么是传输线？传输线是一种以波导的形式传输能量或信号的结构。对于传输线，有很多种，主要是分为两大类，一种是TEM Transmission Line，另一种是Higher Order Transmission Line，两者之间的不同在于TEM TL由两块金属组成，Higher Order TL由一块金属组成，而只有一块金属，无法传输TEM波（横向电磁波），例如，矩形波导属于Higher Order Transmission Line，不能够进行横向电磁波的传输。

2. 传输线理论的引入

然后，传输线内部传输的是什么呢？是波导形式的能量或信号，故有着不同的频率。当低频的时候，传输线的尺寸远小于波长 $l< < \lambda$ ，此时电路可以等价为DC circuit；当频率升高到传输线的尺寸约等于波长 $l\approx \lambda$ 的时候，此时信号的相位和幅度沿着传输方向会发生变化，我们就需要用到 distributed-element model，即把传输线等价为存在distributed parameters：

R（lossy medium, series resistance，单位为Ω）
L（self-inductance of two conductor, series inductance, 单位为H）
G（dielectric loss/ leakage, shunt conductance, 单位为1/Ω）
C（proximity of two conductors, shunt capacitance, 单位为F）

当高频的时候，传输线的尺寸远大于波长 $l> > \lambda$ ，此时的信号会出现严重的抖动现象，我们就需要用到 Lumped-element model，即把传输线划分成一段段的 $\Delta z$ ，每一段的 $\Delta z$ 都满足 $\Delta z$ 远小于波长 $\Delta z< < \lambda$ ，故可以满足KCL, KVL公式。

3. 传输线方程的推导

再者，传输线理论的方程该如何推导呢？我们只需要对 $\Delta z$ 进行建模即可， $\Delta z$ 的电路如下图所示，利用KCL, KVL方程可以得到以下公式：

图1 电路图

得到KCL， KVL方程之后，我们需要找到两个电压、电流值分别的关系，所以利用基本的微分原理，将两个公式进行消元处理，我们得到电报方程（telegrapher‘s equation）：

假设传输线是均匀的并且在稳态条件下，我们可以将电报方程转换为以下形式：

将电报方程的第二个方程带入第一个方程，我们就得到了电压和电流的波动方程 wave equation：

同时，我们也可以得到传播常数表达式 γ，其中当传输线为理想条件下的无损传输线时，传输线的 $R_{0}=G_{0}=0$ ，相应地可以得到传播常数、衰减常数、相移常数以及相速度的值。

4. 在稳态状态下传输线均匀的情况下传输线方程的解

那么，如何求解波动方程呢？假设传输线是均匀的（uniform）并且处于稳态（stable state）情况下，我们可以将电压和电流写成以下形式：

我们从公式中可以看到， $A_{+}$ 和 $A_{-}$ 是边界条件独立常数，我们这时候可以利用边界条件进行求解。关于边界条件，我们有两种：一种是利用源点处的边界条件，另一种是利用负载处的边界条件。

Case 1: Voltage and Current in the terminal are known

Case 2: Voltage and Current in the source are known

5. 传输线的特征参数

最后，我们梳理关于传输线的特征参数：特征阻抗、传播常数、输入阻抗、反射系数以及输入阻抗与反射系数的关系。关于输入阻抗与反射系数的关系，输入阻抗的基本概念就是，电压和电流之比，同时电压和电流可以用反射系数进行表示，带入之后，我们可以得到 $Z_{in}$ 关于 $\Gamma\left ( z^{'} \right )$ 的公式，其中 $\Gamma\left ( z^{'} \right )$ 可以用幅度与相位的方式来表示。

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