导数的概念

设$y=f(x)$在变量$x=x_0$处存在一个增量$\Delta x$(可正可负)，则可以得到函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

若函数增量$\Delta y$，与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时极限存在，即${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$存在，则说明函数$y=f(x)$在$x=x_0$处可导，称极限值为$x_0$处的导数，记为：
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

整理笔记所用，定义并不完整。

理解：某点的导数，本质上可以看做函数在该点处增量的极限值，
由此可以看出，若需要证明某点$x_0$导数存在，那么根据导数本质是极限的原理，仅需证明在$x=x_0$处导数左右极限均相等。

以上定义中，令$x=x_0+\Delta x$，那么导数的定义还可以表示为:
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

几何定义

y在点$x_0$处的导数值$f^{\prime }(x_0)$导数值，就是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,y_0)$处切线的斜率$k$。由此可以得出切线和法线公式：

$$\genfrac{}{}{0ex}{}{切线：y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}{法线：y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),f(x_0)\ne 0}$$

高阶函数

$$f^{(n)}(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}$$

高阶导数的概念其实就是在前一阶导数的基础上再次求导。

微分的概念

导数的概念是可以由路程、时间和速度的关系引入，而微分可以通过正方形边长与面积的关系引入，可以参考《张宇数学基础30讲》56页的引例。

设函数$y=f(x)$在点$x_0$处，对于自变量增量$\Delta x$，有函数增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，若存在与$\Delta x$无关的常数A，使得
$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$
那么称$f(x)$在点$x_0$处可微，并称$A\Delta x$为f(x)在点$x_0$处的微分，记为$dy{|}_{x=x_0}=A\Delta x$，又$\Delta x=dx$，故$dy{|}_{x=x_0}=Adx$。

$A$实际上是$f(x)$在$x=x_0$处的导数，由此可以转化为如下定义：

$$dy=f^{\prime }(x)dx\Rightarrow \frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$$

针对右式的除法，可以有两种解释

• 从导数的观点看，$\frac{dy}{dx}$是一个表示导数的符号，
• 从微分的观点看，$\frac{dy}{dx}$确实是一个除法，也叫微商

微分与导数

微分实际上是使用一个线性增量$A\Delta X$来代替复杂的增量$\Delta y$，其误差为$\Delta y-A\Delta x$，即$o(\Delta x)$，可以忽略不计。

所以在一元函数中，导数与微分的概念类似，f(x)在$x_0$处可微与可导互为充要条件，那么判断可微的题目，即可转换为判断可导进行证明。

几何定义

与导数表示斜率不同。

f(x)在$x=x_0$处的可微，则在点$(x_0,y_0)$附近可以用切线段近似代替曲线段。

导数与微分的计算

下面主要是关于计算的一些性质和技巧

四则运算

1. 和差的导数：$[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$
2. 积的导数：$[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$
3. 商的导数: $[\frac{u(x)}{v(x)}{]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}$，$v(x)\ne 0$

分段函数

分段函数求导的时候，需要注意的是：

1. 连续部分正常求导
2. 但是在间断点的时候，需要考虑间断点的导数是否存在，则需要根据导数的定义，求出左右极限是否相等；若相等，则导数存在，否则该点导数不存在。

复合函数

复合函数求导指的是，函数内的变量为另一个函数，形如：

{ f [ g ( x ) ] } ′ = f ′ [ g ( x ) ] g ′ ( x ) \{f[g(x)]\}' = f'[g(x)]g'(x) { f[g(x)]}′=f′[g(x)]g′(x)

复合函数求导其实本质上并不困难，只需要记住原本的求导公式$dy=f^{\prime }(u)du$，其中的$u$无论是自变量还是中间变量（其他函数）,求导法则都成立。

反函数

若$y=f(x)$可导，且$f(x)\ne 0$，则存在反函数$x=\varphi (y)$，且$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$。

即，${\varphi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$。

对于反函数$y=\arcsin x$，有$x=\sin y$，那么

$(\arcsin y{)}^{\prime }=\frac{1}{(\sin y{)}^{\prime }}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

参数方程

至于参数方程的公式也比较好理解，针对参数方程$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$。
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dy}{dt}}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{\varphi (t)}$$

求导法

隐函数求导

隐函数仅需要进行等号两边求导就行，不赘述。

对数求导

对于一些很多相乘、相除的式子，可以利用对数的性质，将困难的乘除法转化为简单的加减法，再进行求导即可。

幂指数求导

对于幂指数$u(x{)}^{v(x)}$，可以将其转化为指数函数:
$$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$$

然后再进行求导就较为简单了。

变限积分求导

设$F(x)={\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)dt$，对其求导为：
$$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)dt]=f[{\varphi }_2(x)]{\varphi }_2^{\prime }(x)-f[{\varphi }_1(x)]{\varphi }_1^{\prime }(x)$$

也就是将积分上限代入x并乘以积分上限的导数，减去积分下线代入x乘以积分下限的导数。

高阶导数

高阶函数主要有三种方法：

1. 归纳法：根据前几项总结出规律（比较常用）

2. 莱布尼兹公式：(一般处理两个函数乘积的高阶导)

   设$u=u(x)$， $v=v(x)$均n阶可导，则
   $$\begin{gathered} [u\pm v{]}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}, \\ (uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)} \end{gathered}$$

3. 泰勒公式：

   任何一个无穷阶可导的函数$y=f(x)$在收敛的条件下，都可以写成：
   $$y=f(x)\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

泰勒公式

对于泰勒公式是如何得到的，这里做一个简单的推导。

1. 对于每一个复杂的函数，我们都可以将其利用多个多项式的和近似表示出来:
   $$f(x)\approx P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$$

2. 取$x=x_0$，那么我们可以得到：
   $$\{\begin{array}{l}{a}_0=p_n(x_0)\approx f(x_0)\\ a_1=p_n^{\prime }(x_0)\approx f^{\prime }(x_0)\\ a_2=p_n^{\prime \prime }(x_0)\approx f^{\prime \prime }(x_0)\\ \cdots \\ a_n=p_n^{(n)}(x_0)\approx f^{(n)}(x_0)\end{array}$$
   各个系数$a_k$都是根据f(x)求相应次导数，使得a的前$k-1$项系数为0。

3. 将所有的a代入公式得到：
   $$f(x)\approx f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{(2)}}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$

4. 以上基本就是泰勒公式的一个形式了，但是可以发现f(x)依旧是近似等于，而不是完全等于多项式，需要增加一个误差来使得等于号成立，也就是常说的余项$R_n(x)$：

   • 佩亚诺余项：直接使用一个高阶无穷小——$o((x-x_0{)}^n)$
   • 拉格朗日余项：设$g(x)=(x-x_0{)}^{n+1}$，利用柯西中值定理进行求解——$\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{n+1}(x-x_0{)}^{n+1}$

5. 从而泰勒公式表示为：$f(x)=P_n(x)+R_n(x)$。

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以上内容是DataWhale第28期组队学习，根据b站视频考研数学之高等数学（一二三都适用）学习整理所得，若有不足，望指出。