数学基础之代数学（6）——群

这里对群只是做一些简单的了解，更详细的知识需要自行学习离散数学。
1. 运算
设$A,B,C$是$3$个任意的非空集合，则定义一个$A\times B$到$D$的函数$\ast$，为一个$A\times B$到$D$的代数运算。那么，对$A$中的任意一个元素$a$和$B$中的任意一个元素$b$，即$\forall (a,b)\in A\times B$，都存在唯一一个$d\in D$，使得$\ast ((a,b))=d$，记为$a\ast b=d$。
例如：已知$N$是自然数集，现在定义$N\times N$到$N$上的一个函数$\ast$：$\forall m,n\in N,\ast ((m,n))=mn$，即$m\ast n=mn$，显然，$\ast$是一个$N\times N$到$N$的运算。
现在，我们对上述定义做如下变动：设$A,B$是$2$个任意的非空集合，若$\ast$是$A\times A$到$B$的一个运算，则称$\ast$是集合$A$上的一个代数运算或二元运算。此时，若有$B\subseteq A$，则$\ast$就是集合$A$上的闭运算，也说集合$A$对运算$\ast$是封闭的。若有$n⩾1$是正整数，我们则称一个$A^n$到$B$的映射$\ast$为$A$上一个$n$元运算，例如，已知$R$是实数集，$R$上的绝对值运算，可以称为$R$上一个一元运算。

2. 交换律
设$A,B$是$2$个任意的非空集合，$\ast$是$A\times A$到$B$的一个运算，若对于$A$中任意两个元素$a,b$，都有$a\ast b=b\ast a$，则称$\ast$运算适合交换律。例如，在数的运算中，加法运算适合交换律，而减法运算就不适合交换律。

3. 结合率
设$A,B$是$2$个任意的非空集合，$\ast$是$A\times A$到$B$的一个运算，若对于$A$中任意三个元素$a,b,c$，都有$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$，则称$\ast$运算适合结合率。例如，在数的运算中，加法运算和乘法运算都适合结合率。

4. 代数系统
设$A$是一个集合，${\ast }_1,{\ast }_2,\dots ,{\ast }_n$是$A$上的$n$个代数运算，而$(A,{\ast }_1,{\ast }_2,\dots ,{\ast }_n)$则表示集合$A$，以及$A$上的$n$个代数运算组成的代数系统。
设$(A,\ast ),(B,\cdot )$是两个代数系统，$\ast$是$A$上的一个二元运算，$\cdot$是$B$上的一个二元运算，现在有一个函数$f:A\to B$，若$\forall a,b\in A,s.t.f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)$，则称函数$f$是$A$到$B$的同态函数。此外，若$f$是单射（设$S$为一非空集合，$\forall a,b\in S,a\ne b$，则有$f(a)\ne f(b)$），则$f$可称为单一同态函数；若$f$是满射（设$f$是集合$M$到$N$的一个映射，$\forall n\in N,\exists m\in M,s.t.f(m)=n$），则$f$可称为满同态函数；若$f$是双射（既是单射，又是满射），则$f$可称为同构函数。
那么，两个代数系统之间，若存在单一同态函数，则称这两个代数系统是单同态的；若存在满同态函数，则称它们是满同态的；若存在同构函数，则称它们是同构的。

5. 半群
设$(A,\ast )$是一个代数系统，其中$A$是一个非空集合，$\ast$是$A$上的一个二元运算。若$\ast$是$A$上的闭运算，且该运算适合结合率，则称$(A,\ast )$是一个半群。例如$(N,+)$，其中$N$表示自然数集，$+$表示数的加法，$\forall a,b\in N$，易知$a+b$组成的集合是自然数集的子集，所以$+$是$N$上的闭运算。同时$\forall a,b\in N,(a+b)+c=a+(b+c)$，所以$+$运算适合结合率，因此$(N,+)$是一个半群。
证明一个代数系统是半群很简单，只需要依据它的定义按步骤给出证明即可：
$step1$：运算是集合上的闭运算，即集合中的任意元素遵循运算定义构成的结果集合，是集合的子集；
$step2$：运算适合结合率。
现在来看一个简单的小结论：设$f,g$是$(A,\circ )$到$(B,\ast )$的同态映射，定义一个$A$到$B$的映射$h:\forall a\in A,h(a)=f(a)\ast g(a)$，若$(B,\ast )$是一个可交换的半群，那么$h$为$A$到$B$的同态映射。证明如下：
$\forall a,b\in A,h(a\circ b)=f(a\circ b)\ast g(a\circ b)=(f(a)\ast f(b))\ast (g(a)\ast g(b))=f(a)\ast (f(b)\ast g(a))\ast g(b)=f(a)\ast (g(a)\ast f(b))\ast g(b)=(f(a)\ast g(a))\ast (f(b)\ast g(b))=h(a)\ast h(b)$
$\therefore h$为$A$到$B$的同态映射。
这里还有一个子半群的概念：$(A,\ast )$是一个半群，$\varnothing \ne B\subseteq A$，若$(B,\ast )$也是一个半群，那么我们就称$(B,\ast )$是$(A,\ast )$的子半群。

6. 幺元
设$(A,\ast )$是一个代数系统，若$\exists e_{right}\in A,s.t.\forall a\in A,a\ast e_{right}=a$，则称$e_{right}$为右幺元；若$\exists e_{left}\in A,s.t.\forall a\in A,e_{left}\ast a=a$，则称$e_{left}$为左幺元；若$\exists e\in A$，它既是右幺元，又是左幺元，则称$e$为幺元（又称单位元）。
现在有代数系统$(A,\ast )$，当$A$是有穷集合时，即 A = { a , b , c } A=\{a,b,c\} A={ a,b,c}，其上的二元运算常可用运算表给出：

$\ast$	$a$	$b$	$c$
a	a	b	b
b	a	b	c
c	a	b	a

我们可以借助运算表直接看出运算的一些性质，常见用法有：
$\cdot$二元运算满足可交换性的充要条件是运算表关于主对角线对称
$\cdot$二元运算有左幺元的充要条件是该元素对应的行，与该表表头的行一致
$\cdot$二元运算有右幺元的充要条件是该元素对应的列，与该表表头的列一致
$\cdot$二元运算有幺元的充要条件是该元素对应的行和列依次与该表表头的行和列一致
下面来看一个重要结论：设$(A,\ast )$是一个代数系统，若它既有左幺元，又有右幺元，则左幺元等于右幺元。若有幺元，则幺元唯一。证明如下：
设$e_{left},e_{right}\in A$，则 $e_{left}=e_{left}\ast e_{right}=e_{right}$，左幺元等于右幺元证毕。若有$e_1,e_2\in A$，它们都是幺元，则 $e_1=e_1\ast e_2=e_2$，幺元唯一证毕。
此外，我们定义含有幺元的半群为含幺半群。

7. 逆元
$(A,\ast )$是一个代数系统，$e\in A$是幺元，现在有元素$a\in A$，若$\exists b\in A,s.t.a\ast b=e$，则称$b$是$a$的右逆元；若$\exists d\in A,s.t.d\ast a=e$，则称$d$是$a$的左逆元；若$\exists a^{\prime }\in A$，使得$a^{\prime }$既是$a$的左逆元，又是$a$的右逆元，则称$a^{\prime }$是$a$的逆元。
与逆元的定义相似，我们在这里可以了解一下可逆函数。现在已知${\Delta }_A$为$A$上的恒等关系，且对于任意$f\in A^A$（即$f$为$A$到$A$的映射），若存在函数$g:A\to A,s.t.f\circ g={\Delta }_A$，则称$f$是右可逆函数，并称$g$是$f$的右逆函数；若存在函数$g:A\to A,s.t.g\circ f={\Delta }_A$，则称$f$是左可逆函数，并称$g$是$f$的左逆函数；若$f$既是左可逆函数，又是右可逆函数，则称$f$是可逆函数。这里有几个等价关系可以帮助我们更好的进行判断：
$f$是右可逆函数 $\iff$ $f$是满射
$f$是左可逆函数 $\iff$ $f$是单射
$f$是可逆函数 $\iff$ $f$是双射
同时，易知恒等关系为幺元，满射函数有右逆元，单射函数有左逆元，双射函数有逆元。下面我们再来看一个重要结论：
$(A,\ast )$是一个代数系统，$e\in A$是幺元，$\ast$适合结合率。对于任意的$a\in A$，若$a$既有左逆元，又有右逆元，则$a$的左逆元等于$a$的右逆元。另外，若$a$的逆元存在，则唯一。
证明：设$d,b$分别是$a$的左、右逆元，即$d\ast a=e,a\ast b=e$，就有$d=d\ast e=d\ast (a\ast b)=(d\ast a)\ast b=e\ast b=b$。同理可证逆元若存在，则逆元唯一。
注意：$(A,\ast )$是一个代数系统，$\forall a\in A$，则记$a^{-1}$为$a$的逆元。

8. 群
设$A$是一个非空集合，$(A,\ast )$是一个代数系统，$\ast$是$A$上的一个二元运算，若$(A,\ast )$满足：
a. $\ast$是$A$上的闭运算；
b. $\ast$适合结合率；
c. 存在$e\in A$，是幺元（又称单位元）；
d. 对于$A$中的任意元素$a$，存在$a^{-1}\in A$，使得$a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$
则称$(A,\ast )$是一个群。下面来看一个有意思的结论。
若$(A,\ast )$是一个群，则运算$\ast$满足左、右消去律。在证明之前，我们先看一下什么是消去律。
设$(A,\ast )$是一个代数系统，对于任意$a,b,c\in A$，若$a\ast b=a\ast c$，则有$b=c$，就称$\ast$运算满足左消去律；若$b\ast a=c\ast a$，则有$b=c$，就称$\ast$运算满足右消去律。现在再来看结论的证明：
$\forall a,b,c\in A$
若$a\ast b=a\ast c$，则$(a^{-1})\ast (a\ast b)=(a^{-1})\ast (a\ast b)\Rightarrow (a^{-1}\ast a)\ast b=(a^{-1}\ast a)\ast c\Rightarrow e\ast b=e\ast c\Rightarrow b=c$；
若$b\ast a=c\ast a$，则$(b\ast a)\ast (a^{-1})=(c\ast a)\ast (a^{-1})\Rightarrow b\ast (a\ast a^{-1})=c\ast (a\ast a^{-1})\Rightarrow b\ast e=c\ast e\Rightarrow b=c$；
综上，运算$\ast$满足左、右消去律。
设$(A,\ast )$和$(B,\ast )$是两个群，$f$是$B$到$A$的一个映射，若对于任意$b_1,b_2\in B$，有$f(b_1\ast b_2)=f(b_1)\ast f(b_2)$，则称$f$是$(B,\ast )$到$(A,\ast )$的群同态映射。若$f$是单射，则称$f$是单一同态；若$f$是满射，则称$f$是满同态，也称$(A,\ast )$是$(B,\ast )$的同态象；若$f$是双射，则称$f$是同构映射。
因此，若存在$(B,\ast )$到$(A,\ast )$的满同态映射，就称群$(A,\ast )$和$(B,\ast )$是两个同态的群；若存在$(B,\ast )$是$(A,\ast )$的同构映射，就称群$(A,\ast )$和$(B,\ast )$是两个同构的群。此时，若$(A,\ast )$是一个群，$f$是$A$到$A$到映射，若$f$是同态映射，则称$f$为群$A$的自同态映射；若$f$是同构映射，则称$f$是群$A$的自同构映射。
这里我们再来看一下和半群与群有关的几个定理：

1. 设$(A,\ast )$是一个半群，$\exists e\in A$是$A$中的左幺元，若$\forall a\in A,\exists a^{\prime }\in A,s.t.a^{\prime }\ast a=e$，则$(A,\ast )$是一个群。这一关系将群的四个条件转换为：
   a. $\ast$是$A$上的闭运算；
   b. $\ast$适合结合率；
   c. 存在左幺元$e\in A$；
   d. 对于$A$中的任意元素$a$，存在$a$的左逆元
   前两个条件没变，我们来看后两个的证明：
   $\because e\in A$是$A$中的左幺元
   $\therefore \forall a\in A$，有$e\ast a=a$，下面的主要证明$e$也是$A$中的右幺元
   $\because \forall a\in A,\exists a^{\prime }\in A,s.t.a^{\prime }\ast a=e$
   $\therefore \forall a^{\prime }\in A,\exists a^{\prime \prime }\in A,s.t.a^{\prime \prime }\ast a^{\prime }=e$
   $\therefore a\ast a^{\prime }=e\ast (a\ast a^{\prime })=(a^{\prime \prime }\ast a^{\prime })\ast (a\ast a^{\prime })=a^{\prime \prime }\ast (a^{\prime }\ast a)\ast a^{\prime }=a^{\prime \prime }\ast e\ast a^{\prime }=a^{\prime \prime }\ast (e\ast a^{\prime })=a^{\prime \prime }\ast a^{\prime }=e$
   $\therefore a\ast e=a\ast (a^{\prime }\ast a)=(a\ast a^{\prime })\ast a=e\ast a=a$
   $\therefore e$是右幺元，$a^{\prime }$也是$a$的右逆元，即是$a$的逆元
   $\therefore (A,\ast )$是一个群
2. 设$(A,\ast )$是一个半群，则$(A,\ast )$是群当且仅当$\forall a,b\in A$，方程$a\ast x=b$和$y\ast a=b$在$A$中有解。
   证明：
   $"\Rightarrow "$
   设$a$和$b$是$A$中任意两个元素，$\therefore \exists a^{-1}\in A$，且$a^{-1}\ast b$ 是 $a\ast x=b$ 的一个解，$b\ast a^{-1}$是$y\ast a=b$的一个解；
   $"\Leftarrow "$
   根据定理1，这里只需要证明存在左幺元和左逆元
   设$a$是$A$中的一个元素，已知$y\ast a=a$在$A$中有解，不妨设该解为$e\in A$，即有$e\ast a=a$。
   $\forall k\in A$，已知$a\ast x=k$在$A$中有解，不妨设该解为$b\in A$，即有$a\ast b=k$，则$e\ast k=e\ast (a\ast b)=(e\ast a)\ast b=a\ast b=k$，即$e$是$A$中的左幺元；
   $\forall k\in A$，已知$y\ast k=e$在$A$中有解，不妨设该解为$k^{\prime }$，则$k^{\prime }$是$k$的左逆元；
   综上，由定理1知$(A,\ast )$是一个群。
3. 设$A$是一个非空有限集合，$(A,\ast )$是一个半群，若满足以下条件：
   对 $\forall a,b,c\in A$，若$a\ast b=a\ast c$，则有$b=c$；若$b\ast a=c\ast a$，则有$b=c$，则称$(A,\ast )$是一个群。
   证明：
   我们先证明对 $\forall a,b\in A,a\ast x=b$在$A$中有解：
   $\because A$是一个非空有限集合
   $\therefore$ 可设 A = { a 1 , a 2 , … , a n } A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\} A={ a1​,a2​,…,an​}，记 a ∗ A = { a ∗ a 1 , a ∗ a 2 , … , a ∗ a n } a*A=\{a*a_1,a*a_2,\dots,a*a_n\} a∗A={ a∗a1​,a∗a2​,…,a∗an​}
   $\because (A,\ast )$是一个半群
   $\therefore \ast$运算是封闭的
   $\therefore a\ast A\subseteq A$
   作 $A$ 到 $a\ast A$ 的映射 $\phi :A\to a\ast A,\phi (a_i)=a\ast a_i,(1⩽i⩽n)$，易知，$\phi$是满射，若 $\phi (a_i)=\phi (a_j)$，即$a\ast a_i=a\ast a_j$，由已知条件，有$a_i=a_j$，所以可知 $\phi$ 是单射，所以 $\phi$ 是双射，则可知 $|a\ast A|=|A|$。
   $\because A$ 是有限集合，且 $a\ast A\subseteq A$
   $\therefore a\ast A=A$
   $\because b\in A$
   $\therefore b\in a\ast A$
   $\therefore \exists a_i\in A,s.t.b=a\ast a_i$，即 $a\ast x=b$ 在 $A$ 中有解，同理可证 $y\ast a=b$ 在 $A$ 中也有解，由定理2知：$(A,\ast )$是一个群。

10. 简单的特殊群
a. 设$(A,\ast )$是一个群，
$\cdot$ 若$A$是无限集，则称$(A,\ast )$是无限群
$\cdot$ 若$A$是有限集，且$|A|=n$，则称$(A,\ast )$是$n$阶有限群

b. 设$(A,\ast )$是一个群，$\forall a,b\in A$，若有$a\ast b=b\ast a$，则称$(A,\ast )$是交换群，又称阿贝尔$(Abel)$群。

c. 设$(A,\ast )$是一个群，$a\in A$，
$\cdot$ 若 $\exists n\in Z^{+},s.t.a\ast a\ast \cdots \ast a=a^n=e$，且$\forall m\in Z^{+},m<n,$有$a^m\ne e$，则称$a$是一个$n$阶元，记为$o(a)=n$
$\cdot$ 若 $\forall n\in Z^{+},a^n\ne e$，则称$a$是无限阶元，记为$o(a)=\infty$

11. 置换群
在学习变换群之前，我们先来看一下一个有关于映射的概念：
设$A$是一任意非空集合，定义$A^A$是$A$到$A$的映射构成的集合，即有 A A = { f ∣ f : A → A } A^A=\{f|f:A\rightarrow A\} AA={ f∣f:A→A}，$\forall f_1,f_2\in A^A$。我们定义$f_1\circ f_2$是一复合映射，显然有$f_1\circ f_2\in A^A$，即运算 $\circ$ 闭合，又易知运算 $\circ$ 适合结合律，因此可推出 $(A^A,\circ )$ 是一半群。已知恒等函数 Δ A = { ( x , x ) ∣ x ∈ A } ∈ A A \Delta_A=\{(x,x)|x\in A\}\in A^A ΔA​={ (x,x)∣x∈A}∈AA，所以 $\forall f\in A^A,f\circ {\Delta }_A={\Delta }_A\circ f=f$，即${\Delta }_A$为幺元。
现在我们定义一个新的集合： U ( A A ) = { f ∣ f ∈ A A , f U(A^A)=\{f|f\in A^A,f U(AA)={ f∣f∈AA,f是双射$\}$，同理可证得 $(U(A^A),\circ )$ 是一含幺半群。$\forall f\in U(A^A)$，由于 $f$ 是双射，所以 $\exists f^{-1}\in U(A^A),s.t.f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f={\Delta }_A$，且 $f$ 亦为双射，则有 $f^{-1}\in U(A^A)$，综上 $(U(A^A),\circ )$ 是一个群。下面我们来看变换群的定义：
设 $A$ 是一非空集合，$A^{\prime }$ 是由 $A$ 到 $A$ 的一些映射构成的集合，即有 $A^{\prime }\subseteq A^A$，若现在有运算 $\circ$ 与集合 $A^{\prime }$ 共同构成一个群，则称 $(A^{\prime },\circ )$ 是集合 $A$ 上的一个变换群。（易知，$(U(A^A),\circ )$ 是集合 $A$ 上的一个变换群，$\forall f\in U(A^A)$，称 $f$ 为集合 $A$ 上的一个变换）
当 $A$ 是一有限集合时，可设 A = { 1 , 2 , … , n } A=\{1,2,\dots,n\} A={ 1,2,…,n} ，则 $A$ 上的可逆变换可以表示为 $f=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& \cdots & n-1& n\\ & & & & \\ i_1& i_2& \cdots & i_{n-1}& i_n\end{array}\right)$，其中 $i_1{i}_2\cdots i_n$ 是一个 $n$- 排列，$i_j$ 表示将 $j$ 位置上的元素换到 $i_j$ 位置，这样的一次变换称作 $n$ 次置换，形成的群称作 $n$ 次置换群。所有 $n$ 次置换形成的群记为 $S_n$。
例如置换$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 2& 1& 3\end{array}\right)$ 作用在排列 $(a,b,c)$ 后得到的新排列就是 $(b,a,c)$，易知该置换的作用是将排列的 $1、2$ 号位置上的元素互换。而排列 $(b,a,c)$ 被置换 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 3& 2& 1\end{array}\right)$ 作用后就变成了 $(c,a,b)$。现在我们将置换 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 2& 1& 3\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 3& 2& 1\end{array}\right)$ 进行复合，就可以得到 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 3& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 2& 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ （置换的复合运算顺序为右结合）。将复合得到的新置换 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ 作用在排列 $(a,b,c)$ 上可得 $(c,a,b)$，与依次作用得到的结果一致。
$3$ 阶置换群 $S_3$ 中元素是 $3$ 次置换，可以表示为 $f=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ i_1& i_2& i_3\end{array}\right)$，将 $i_1{i}_2{i}_3$ 替换为 $3$- 排列，则有 S 3 = { ( 1 2 3 1 2 3 ) ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) , ( 1 2 3 3 1 2 ) , ( 1 2 3 3 2 1 ) } S_3=\{\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\1&2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\1&3&2\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&1&3\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&3&1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&1&2\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&2&1\end{matrix}\right)\} S3​={ ⎝⎛​11​22​33​⎠⎞​⎝⎛​11​23​32​⎠⎞​,⎝⎛​12​21​33​⎠⎞​,⎝⎛​12​23​31​⎠⎞​,⎝⎛​13​21​32​⎠⎞​,⎝⎛​13​22​31​⎠⎞​}。此外，还有另一种用于表示置换的方法。若对于 $(i_1,i_2,\dots ,i_k)$，有 $f(i_1)=i_2,f(i_2)=i_3,\dots ,f(i_{k-1})=i_k,f(i_k)=i_1$，则称 $(i_1,i_2,\dots ,i_k)$ 是一个循环节。因此，一个置换群可以拆分成若干个循环节，例如，$f=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ & & & & \\ 2& 3& 1& 4& 5\end{array}\right)$ 可以表示为 $(1,2,3)(4)(5)$。同样的，对于上述例子 $S_3$，可以改写为 S 3 = { ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) , ( 1 ) ( 2 , 3 ) , ( 1 , 2 ) ( 3 ) , ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , 2 ) , ( 1 , 3 ) ( 2 ) } S_3=\{(1)(2)(3),(1)(2,3),(1,2)(3),(1,2,3),(1,3,2),(1,3)(2)\} S3​={ (1)(2)(3),(1)(2,3),(1,2)(3),(1,2,3),(1,3,2),(1,3)(2)}。
下面我们来了解一个比较具有代表性的置换群——二面体群 $D_n$：空间中的一个含 $n$ 个顶点的二面体（即平面上的 $n$ 边形）上，由所有旋转和关于某个对称轴的翻转所组成的群叫做一个二面体群。例如，当 $n=3$ 时（通常取平分 $n$ 边形的对称轴为固定轴），记顺时针旋转一个单位为 $\sigma (1,2,3)$，绕对称轴翻转为 $\tau (1)(2,3)$，则 D 3 = < σ , τ > = { 1 , σ , σ 2 , τ , σ τ , σ 2 τ } D_3=<\sigma,\tau>=\{1,\sigma,\sigma^2,\tau,\sigma\tau,\sigma^2\tau\} D3​=<σ,τ>={ 1,σ,σ2,τ,στ,σ2τ}，含义如下：

$1$	$1$
$2$	$\tau$
$3$	$\sigma$
$4$	$\sigma \tau$
$5$	${\sigma }^2$
$6$	${\sigma }^2\tau$

12. 循环群
设 $(A,\ast )$ 是一个群，若 $a\in A$，显然有 $a^2\in A,a^3\in A,\dots ,\forall n\in Z^{+},a^n\in A$。另外，因为 $a\in A$，所以有 $a^{-1}\in A$，进而有 $a^{-2}\in A,a^{-3}\in A,\dots ,\forall n\in Z^{+},a^{-n}\in A$。现在，规定 $a^0=e\in A$ 是 $A$ 中的幺元，则 $\forall n\in Z,g^n\in A$，显然， ( { a n ∣ n ∈ Z } , ∗ ) (\{a^n|n\in Z\},*) ({ an∣n∈Z},∗) 也是一个群。现在，设 $(A,\ast )$ 是一个群，若 $A$ 的每一个元素都是某个固定元 $a$ 的乘方，则称 $A$ 为循环群，$a$ 为生成元，记为 A = ( a ) = { a n ∣ a ∈ Z } A=(a)=\{a^n|a\in Z\} A=(a)={ an∣a∈Z}。
现在有循环群 $A=(a)$，若 $o(a)=n$，则称 $A$ 是 $n$ 阶有限循环群；若 $o(a)=\infty$，则称 $A$ 是无限循环群。

13. 子群
设 $(G,\ast )$ 是一个群，有 $\varnothing \ne A\subseteq G$，若 $(A,\ast )$ 也是一个群，则称 $(A,\ast )$ 是 $(G,\ast )$ 的子群。下面是一个关于子群的等价关系式
$(A,\ast )$ 是 $(G,\ast )$ 的子群 $\iff$ $\forall a,b\in A$，有 $a\ast b^{-1}\in A$

14. 陪集
已知 $(G,\ast )$ 是一个群，$(H,\ast )$ 是 $(G,\ast )$ 的子群，设 $g\in G$，则称 H ∗ g = { h ∗ g ∣ h ∈ H } H*g=\{h*g|h\in H\} H∗g={ h∗g∣h∈H} 为子群 $(H,\ast )$ 的右陪集， g ∗ H = { g ∗ h ∣ h ∈ H } g*H=\{g*h|h\in H\} g∗H={ g∗h∣h∈H} 为子群 $(H,\ast )$ 的左陪集

15. 正规子群与商群
已知 $(G,\ast )$ 是一个群，$(N,\ast )$ 是 $(G,\ast )$ 的一个子群，若 $\forall g\in G$，有 $g\ast N=N\ast g$，即 $g$ 关于 $(N,\ast )$ 的左陪集等于右陪集，则称 $(N,\ast )$ 是 $(G,\ast )$ 的正规子群，亦称不变子群。
现在设 $(G,\ast )$ 是一个群，$(H,\ast )$ 是 $(G,\ast )$ 的正规子群，定义 G / H = { g ∗ H ∣ g ∈ G } G/H=\{g*H|g\in G\} G/H={ g∗H∣g∈G}，易知 $(G/H,\odot )$ 是一个群，则称群 $(G/H,\odot )$ 为 $(G,\ast )$ 的商群。

16. 群作用
设 $G$ 为一个群，$S$ 为一个集合，考虑一个映射 $\circ$：
$G\times S\to S(g,x)\mapsto g\circ x$
若此映射满足：
a. $1_G\circ x=x,\forall x\in S$；
b. $(gh)\circ x=g\circ (h\circ x),\forall x\in S,\forall g,h\in G$
则称映射 $\circ$ 是 $G$ 在 $S$ 上的一个群作用。
$S_3$ 在 T = { a , b , c } T=\{a,b,c\} T={ a,b,c} 上有群作用 $\circ$：
$S_3\times T\to T(f,t)\mapsto f\circ t=f(t)$
例如对于 $f=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 2& 3& 1\end{array}\right)$，$f\circ a=f(a)=b,f\circ b=f(b)=x,f\circ c=f(c)=a$。

17. 轨道
设 $\circ$ 是 $G$ 在 $S$ 上的一个群作用，对于一个元素 $x\in S$，集合 O x = { g ∘ x ∣ g ∈ G } O_x=\{g\circ x|g\in G\} Ox​={ g∘x∣g∈G} 称为 $x$ 所在的轨道，也记为 $G\circ x$。可以从轨道的概念诱导出集合上的一个等价关系，若已知集合 $S$ 和作用在 $S$ 上的群 $G$，定义集合 $S$ 上的二元关系 $\ast$，$\forall x,y\in S,x\ast yif{O}_x=O_y$。
以 $S_3$ 的 $2$ 阶子群 { ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) } \{\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\1&2&3\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&1&3\end{matrix}\right)\} { ⎝⎛​11​22​33​⎠⎞​,⎝⎛​12​21​33​⎠⎞​} 为例，作用在集合 T = { a , b , c } T=\{a,b,c\} T={ a,b,c} 上。$T$ 中元素 $a$ 和 元素 $b$ 所在的轨道皆为 O a = O b = { a , b } O_a=O_b=\{a,b\} Oa​=Ob​={ a,b}，而 O c = { c } O_c=\{c\} Oc​={ c}。易知 $a\ast b$。在这个等价关系下， $T$ 可以被分成两个不相交的等价类 { a , b } \{a,b\} { a,b} 和 { c } \{c\} { c}。

18. 稳定子
设 $\circ$ 是 $G$ 在 $S$ 上的一个群作用，对于一个元素 $x\in S$，集合 S t a b x = { g ∈ G ∣ g ∘ x = x } Stab_x=\{g\in G|g\circ x=x\} Stabx​={ g∈G∣g∘x=x} 称为 $x$ 在 $G$ 中的稳定子。不难发现，$Sta{b}_x$ 为 $G$ 的一个子群。
以 $S_3$ 作用在 T = { a , b , c } T=\{a,b,c\} T={ a,b,c} 上为例，$T$ 中元素 $b$ 能被那些 $f(b)=b$ 的置换 $f$ 稳定，从而有 S t a b x = { ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 3 2 1 ) } Stab_x=\{\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\1&2&3\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&2&1\end{matrix}\right)\} Stabx​={ ⎝⎛​11​22​33​⎠⎞​,⎝⎛​13​22​31​⎠⎞​}。
一个元素 $x$ 的稳定子 $Sta{b}_x$ 与轨道 $O_x$ 有如下关系 $|O_x|=\frac{|G|}{|Sta{b}_x|}$。