飞行管理问题建模

目录

（1）摘要
（2）问题重述
（3）问题分析
（4）模型假设
（5）符号说明
（6）模型的建立与求解
（7） 模型的缺点与改进方向

摘要

对飞行区域内的飞机，通过调整飞机飞行的角度且飞机调整的幅度要尽量小来避免飞机相撞的的问题，本文先将区域内任意两架飞机在区域内飞行时不相撞的条件转化成关于飞机在飞行区域内关于飞行时间的非线性约束条件，即任意两架飞机在未飞出区域的时间里，这两架飞机的距离要大于8公里，任意两架飞机的距离是关于飞行时间的表达式；同时将飞机的调整幅度尽可能小的问题认为是区域内飞机的调整角度的平方和尽可能小。这样，就建立了如下的数学模型：目标函数为区域内飞机的调整角度的平方和，在满足约束条件（1）任意两架飞机在未飞出区域的时间里，这两架飞机的距离要大于8公里（2）任意一架飞机的调整角度都不大于30度下，求目标函数为最小值时的自变量的值。
本文对该模型的运用matlab数学软件来求解。先编写一个求所有的飞机都飞出去区域的最小时间的函数，接着编写条件（1）的非线性约束函数和目标函数的文件，最后编写一个文件，来求解目标函数的最小值及此时的自变量。在求目标函数的最小值时，运用了matlab工具箱中的fmincon来求满足线行或非线性条件下的目标函数的最小值。对题目中给出的各架飞机的数据，本文求的调整角度依次为为（按照题目中给出数据的顺序）：0.000001°、-0.000001°、2.062965°、-0.479695°、0.000001°、1.551280°。接着本文又编写了一个检验函数来检验飞机调整后是否满足条件，运行结果发现，调整的角度是满足条件的。
关键字：非线性约束，平方和，目标函数，matlab，fmincon

问题重述

在约 10,000 米高空的某边长 160 公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发生相撞。如果发生相撞则应计算如何调整各架（包括新进入）的飞机的飞行方向角，以避免碰撞。现假设条件如下：
1  不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 公里
2  飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度
3  所有飞机的飞行速度均为每小时 800 公里
4 进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内飞机的距离应在60 公里以上
5  最多需考虑 6 架飞机
6  不必考虑飞机离开此区域后的情况。
问题：
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤对以下数据进行计算（方向角误差不超过 0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

问题分析

对该飞行管理问题，若能一次调整就能在满足条件的条件下飞出飞行区域，则优于多次调整才飞出飞行区域，故只需考虑一次调整就能满足条件飞出飞行区域的情况。
在一次调整的情况下，为了能确保每架飞机在飞行区域内飞行都不相撞，所以要满足飞行区域内任意两架飞机调整后，在未飞出区域的这段时间里，这两架飞机的距离都要满足不相撞的条件：这两架飞机的距离要大于8公里。在建立模型时可以把这些条件转化成数学上的非线性约束条件，这些非线性约束条件的表达式都与飞行时间有关，即是关于飞行时间的表达式。
问题中要求飞机的调整幅度要尽量小，题目中并没有明确的说明是在满足条件的情况下，每架飞机的调整角度都要最小，还是每架飞机的调整角度和最小。在这个问题上，本文认为是后一种情况，但由于飞机的调整角度有正有负，所以在求所有飞机的调整角度和时，正负角度相加时会消去一部分调整的角度，故要很好地刻画调整角度和最小的问题，应该将负的调整角度化为正的，然后再相加。将负的调整角度化为正的调整角度，有两种较为常见的方法：一种是将所有的调整角度都加上绝对值，然后再相加；另一种是将所有的角度都平方后，再求平方和。这两种方法都能较好地刻画调整角度和最小的问题，由于绝对值的运算比平方运算更困难，所以本文采用后一种方法来刻画调整幅度尽量小的问题。可以将每架飞机调整角度的平方和当作一个目标函数。
所以，求每架飞机的调整角度且要尽量小的问题时，可以转化成在满足上述的非线性约束条件及每架飞机的调整角度在-30°~30°之间的条件下，求目标函数为最小值时自变量的值，及每架飞机的调整角度。

模型假设

1  不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 公里
2  飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度
3  所有飞机的飞行速度均为每小时 800 公里
4 进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内飞机的距离应在60 公里以上
5  最多需考虑 6 架飞机
6  不必考虑飞机离开此区域后的情况。
7 新的飞机飞进飞行区域在到达飞行区域的边缘时不会与飞行区域内的飞机相撞
8 在未调整时，飞行区域内的飞机不会相撞，及任意两架飞机的距离大于8公里

符号说明

(1)n:区域内飞机的数目
(2)Ai(xi,yi):飞行区域内第i架飞机的坐标（i=1,2,、、、，n）
(3)ϴi:飞行区域内第i架飞机的初始角度（i=1,2,、、、，n）
(4) △ϴi:飞行区域内第i架飞机的调整角度（i=1,2,、、、，n，-30°<=△ϴi<=30°）
（5）v:飞机的飞行速度
（6）Ti:第i架飞机飞出飞行区域的时间
(7)dij:第i架飞机与第j架飞机的距离

模型的建立与求解

对飞行区域内的任意两架飞机，坐标分别为Ai(xi,yi)，Aj(xj,yj)其中i≠j，且i=1,2,、、、，n, j=1,2,、、、，n。调整角度分别为△ϴi，△ϴj，设T=min{ Ti，Tj},设经过任意时间t（0<=t<=T）后，这两架飞机的位置变为A’i（xi +V*cos(ϴi +△ϴi )t, yj +Vsin(ϴj +△ϴj)t ）,A’j (xj +Vcos(ϴj+△ϴj )t, yj +Vsin(ϴj +△ϴj )t )，这两架飞机的距离dij=|A’i A’j|= √(█((xi +Vcos(ϴ+△ϴi )t-(xj +Vcos(ϴj+△ϴj )t))^2-@(yj +Vsin(ϴj +△ϴj)t-(yj +Vsin(ϴj +△ϴj )*t))^2)), 要使两架飞机不相撞，则需满足dij>8。
设f(x1 ,x2,、、、， xn-1， xn)=∑_(i=1)^{n▒〖(△ϴi〗)}2,要求飞行区域内的飞机的调整角度使飞机在飞行区域内飞行时不相撞且飞机的调整辐度要尽量小，可转化成求f(△ϴ1 , △ϴ2 ,、、、，△ϴn-1，△ϴn)=∑_(i=1)^{n▒〖(△ϴi〗)}2
在约束条件：（1）dij>8, i≠j, i=1,2,、、、，n, j=1,2,、、、，n(2)-30°<=△ϴi<=30（i=1,2,、、、，n）下取最小值是的自变量的值，及为每架飞机的调整角度。故可以建立如下模型来求解该飞行管理问题：
求目标函数：f(△ϴ1 , △ϴ2 ,、、、，△ϴn-1，△ϴn)=∑_(i=1)^{n▒〖(△ϴi〗)}2
在约束条件（1）dij>8, i≠j, i=1,2,、、、，n, j=1,2,、、、，n(2)-30°<=△ϴi<=30（i=1,2,、、、，n）下取最小值时的自变量的值。
对题目中给出的数据：
飞机编号 横坐标 纵坐标 方向角度
1 150 140 243
2 85 85 236
3 150 155 220.5
4 145 50 159
5 130 150 230
6（新进入） 0 0 52
注：方向角为与x轴的夹角
下面用该模型解决题目中给出的数据的飞行管理问题，在数学软件matlab中求解的代码如下：
求所有飞机都飞出飞行区域的时间的函数fun_t的代码如下：

function t=fun1_t(Loc1,Loc2,v)
D=zeros(4,6);
for i=1:4
    for j=1:6
    D(i,j)=sqrt((Loc1{
    j}(1,1)-Loc2{
    i}(1,1))^2+(Loc1{
    j}(2,1)-Loc2{
    i}(2,1))^2);   
    end
end
MaxD=max(max(D));
t=MaxD/v;
end

非线性约束函数noncon代码如下:

function [c,ceq]=nonlcon(Tr_th)
Location1={
    [150;140],[85;85],[150;155],[145;50],[130;150],[0;0]};
Location2={
    [0;0],[160;0],[160;160],[0;160]};
v=800;
angle_Th=[243 236 220.5 159 230 52];
t=fun1_t(Location1,Location2,v); 
h=1;
tatal=angle_Th+Tr_th;
 for t1=0:t/300:t
   for j=1:5
   for k=j+1:6  
        temp(h)=64-(((Location1{
    j}(1,1)+cosd(tatal(j))*v*t1)-(Location1{
    k}(1,1)+cosd(tatal(k))*v*t1))^2+...
            ((Location1{
    j}(2,1)+sind(tatal(j))*v*t1)-(Location1{
    k}(2,1)+sind(tatal(k))*v*t1))^2);
        h=h+1;
    end
    end
end
c=temp;
ceq=[];
end

目标函数Object_fun的代码如下：

function Th1=Object_fun(Th_th)
    Th1=Th_th*Th_th';
end

主程序的代码如下：

Tr_th=zeros(1,6);
lb=-30*ones(1,6);
ub=30*ones(1,6);
[x,fval,exitflag,output]=fmincon('Object_fun',Tr_th,[],[],[],[],lb,ub,'nonlcon');
disp(exitflag);
disp(output);
for i=1:6
    fprintf('第%d架飞机的调整角度为%f \n',i,x(i));
end
angle_T=[243 236 220.5 159 230 52];
tatal1=x+angle_T;
check(tatal1);

验证所调整的角度是否满足要求的函数check的代码如下：

function check(th)
v=800;
Location1={
    [150;140],[85;85],[150;155],[145;50],[130;150],[0;0]};
Location2={
    [0;0],[160;0],[160;160],[0;160]};
t=fun1_t(Location1,Location2,v); 
k=1;
 
 for i=1:5
    for j=i+1:6
     for  t1=0:t/30:t    
       c(k)=(Location1{
    i}(1,1)+v*cosd(th(i))*t1-(Location1{
    j}(1,1)+v*cosd(th(j))*t1))^2+...
        (Location1{
    i}(2,1)+v*sind(th(i))*t1-(Location1{
    j}(2,1)+v*sind(th(j))*t1))^2 -64;
         k=k+1;
          
     end
    end
 end

下面是运行结果：
Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the default value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.

 1

     iterations: 45
      funcCount: 357
constrviolation: 0
       stepsize: 3.2930e-04
      algorithm: 'interior-point'
  firstorderopt: 1.6966e-06
   cgiterations: 1
        message: 'Local minimum found that satisfies the constraints.↵↵Optimization completed because the objective function is non-decreasing in ↵feasible directions, to within the default value of the optimality tolerance,↵and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.↵↵Stopping criteria details:↵↵Optimization completed: The relative first-order optimality measure, 4.111981e-07,↵is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06, and the relative maximum constraint↵violation, 0.000000e+00, is less than options.ConstraintTolerance = 1.000000e-06.↵↵Optimization Metric                                            Options↵relative first-order optimality =   4.11e-07       OptimalityTolerance =   1e-06 (default)↵relative max(constraint violation) =   0.00e+00    ConstraintTolerance =   1e-06 (default)'

第1架飞机的调整角度为0.000001
第2架飞机的调整角度为-0.000001
第3架飞机的调整角度为2.062965
第4架飞机的调整角度为-0.479695
第5架飞机的调整角度为0.000001
第6架飞机的调整角度为1.551280
飞机调整的角度符合条件！
从运行结果中可知调整的结果是满足要求的，及该模型的求解是正确的。

模型的缺点与改进方向

该模型有以下缺点：
该模型只能求解飞机只调整一次就能安全地飞出飞行区域的情况，对于一次调整区域内的飞机无法安全飞出飞行区域的情况，该模型无法求解。
该模型无法进行连续调整，故得到的只是在一次调整飞机的飞行角度飞机就能安全飞出飞行区域的下的最小值，对需要连续调整的情况无法求最小值。
模型的改进方向：
针对该模型的以上缺点，该模型需要在不能一次调整飞机就能安全飞出飞行区域的方面改进，同时也要改进求飞机的调整角度的方法，在这种情况下也能求出调整角度的最小值。
【参考文献】：百度文库中对matlab中的fmincon函数的介绍