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随机模拟——蒙特卡洛算法及Python实现
irony • 2020 年 04 月 24 日
蒙特卡洛算法介绍蒙特卡洛算法(Monte Carlo method)也称统计模拟算法，是一种以概率统计理论为指导的数值计算方法方法。是指使用随机数来解决很多计算问题的方法。
蒙特卡洛方法基本思想
通常蒙特卡洛算法可以分为两种：
1，一种是所求解的问题本身具有内在随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。
2，另一种是所求解的问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解。这种方法多用于求解复杂的多维积分的问题。
蒙特卡洛方法的理论依据是大数定理，即重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
论文中利用蒙特卡洛法求定积分
蒙特卡洛一个重要的应用就是求定积分，例子如下：
假设曲线函数为$f(x)$,则易得阴影部分面积:
$$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx $$
然后通过牛顿莱布尼兹公式进行积分求解，而蒙特卡洛算法则运用不同的思想。当我们在$[a,b]$之间随机取一点$x$时,它对应的函数值就是$f(x)$。接下来我们就可以用$f(x) * (b-a)$来估计曲线下方的面积，也就是积分值，但是很显然这种估计方式是非常粗略的。
在上图中，做了四次随机采样，得到了四个随机样本$x_1,x_2,x_3,x_4$，并且得到了这四个样本的$f(x_i)$的值分别为$f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4)$。对于这四个样本，每个样本都可求取一个近似的面积值，大小为$f(x_i)*(b-a)$。然后求取所有面积的平均值就完成了蒙特卡洛求积分的过程。
用以下公式表述上述过程：
$$
\begin{array}{lcr}
S = \frac{1}{4}(b-a)(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4))\\
\quad = \frac{1}{4}(b-a)\sum_{i=1}^4 f(x_i)
\end{array}
$$
蒙特卡洛Python实现
1,求取圆周率$\pi$
代码如下：import random
def cal_pai():
n = 1000000
r = 1
a, b = (0, 0)
# 求投点的上下界
x_low, x_up = a - r, a + r
y_low, y_up = b - r, b + r
# 记录落于圆内的点数
count = 0
for i in range(0, n):
x = random.uniform(x_low, x_up)
y = random.uniform(y_low, y_up)
if x**2 + y**2 <= r**2:
count += 1
return (count / n) * 4
if __name__ == '__main__':
print(cal_pai())
简单介绍一下算法思路：利用投点法，在边长为2的正方形内部找到内接圆，内接圆的半径为1，所以易得内接圆于外接正方形的面积比为$\frac{\pi}{4}$。现在向正方形内部投点，并计算点与圆心的距离。其中$n$为投点的总数，$count$为投在圆内的投点个数，则$\pi$可以由以下格式求出：
$$ \pi = \frac{count}{n} * 4 $$
代码运行结果:$3.140748$，每次运行结果不同。依据大数定理，n越大,$\pi$值越准确。
2,求定积分$\int_{0}^{1} x^2\, dx$
代码如下：import random
def integral():
n = 1000000
x_min, x_max = 0, 1
S = 0
for i in range(0, n):
x = random.uniform(x_min, x_max)
y = x ** 2
S += (x_max - x_min) * y
return 1 / n * S
if __name__ == '__main__':
print(integral())
代码运行结果:$0.33371372617627443$
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