技术标签： ftcs格式 matlab
有限差分法数值求解一维伯格斯方程
作者：潭花林
引言
本文利用有限差分法计算了一维伯格斯方程的初边值问题。采用FTCS格式，并深入讨论了它的相容性、收敛性与稳定。有限差分法在计算流体力学、数值传热学中都有众多的应用，而且可以用于高维情形。所有问题都是采用matlab编程计算。本文只是一个简单的一维问题的算例。
关键词:计算流体力学，有限差分法，一维对流方程
题目
用计算机求对流方程的初值问题
的数值解(由于对流方程的计算结果只依赖与上游，只需要给出上有的边界条件就可以了)。
(1)分别用C格式，Lax格式，FTCS格式在 ，两种情况下计算。
(2)计算范围为，取，计算80个时间步长。
(3)写出计算报告，内容为
(I)计算课题
(II)计算框图
(III)计算程序
(IV)计算结果，时的，图
(V)体会
计算原理
迎风格式
内点采用如下差分格式
初值为
边界条件为
稳定性：
差分格式的稳定性：误差方程与差分方程相同
设误差为，则
放大因子
所以
为使，应有
对于本问题，初值和边界条件并不影响稳定性和收敛性问题。
根据Lax等价定理，对于适定的处置问题，只要差分格式相容，稳定的就是收敛的。
Lax格式
内点采用如下差分格式
初值为
边界条件为
稳定性：
差分格式的稳定性：误差方程与差分方程相同
设误差为，则
放大因子
所以
为使，应有
对于本问题，初值和边界条件并不影响稳定性和收敛性问题。
根据Lax等价定理，对于适定的处置问题，只要差分格式相容，稳定的就是收敛的。
FTCS格式
内点采用如下差分格式
初值为
边界条件为
稳定性：
差分格式的稳定性：误差方程与差分方程相同
设误差为，则
放大因子
所以
所以该格式是完全不稳定的。
计算结果及其讨论
时，结果是收敛的
时刻，三种格式的处理是相同的，处理结果如 REF _Ref370418215 \h 图 1所示，这是由于还没有开始数值计算。
图 SEQ 图 \* ARABIC 1
时刻，计算结果如 REF _Ref370418250 \h 图 2所示，Lax格式和迎风格式的结果几乎是相同的，而FTCS格式却出现了很大的数值震荡。
图 SEQ 图 \* ARABIC 2
时刻，计算结果如 REF _Ref370418261 \h 图 3所示，Lax格式和迎风格式的结果几乎是相同的，并且结果已经接近稳态。而FTCS格式却数值震荡更大了，在几百的量级。
图 SEQ 图 \* ARABIC 3
时刻，三种格式的处理是相同的，处理结果如 REF _Ref370418281 \h 图 4所示，Lax格式和迎风格式的结果几乎是相同的，并且结果已经接近稳态。而FTCS格式却数值震荡更大了，在十万的量级。
图 SEQ 图 \* ARABIC 4
时，结果是不收敛的
时刻，计算结果如 REF _Ref370418173 \h 图 5所示，三种格式的处理是相同的，这是由于还没有开始数值计算。
图 SEQ 图 \* ARABIC 5
时刻，计算结果如 REF _Ref370418302 \h 图 6所示，三种格式都出现了不同程度的数值震荡，在之前的稳定性分析中，已经指出，时，即使是迎风格式和Lax格式也是不稳定的，只有几的量级。
图 SEQ 图 \* ARABIC 6
时刻，计算结果如 REF _Ref370418313 \h 图 7所示，三种格式都出现了不同程度的数值震荡，在之前的稳定性分析中，已经指出，时，即使是迎风格式和Lax格式也是不稳定的，震荡量级到了几百。
图 SEQ 图 \* ARABIC 7
时刻，计算结果如 REF _Ref370418324 \h 图 8所示，三种格式都出现了不同程度的数值震荡，在之前的稳定性分析中，已经指出，时，即使是迎风格式和Lax格式也是不稳定的，震荡量级到几千万。
图 SEQ 图 \* ARABIC 8
体会
在数值计算中，由于计算量很大，不可能通过微分方程的推导就获得解析解，编写程序已经是不可或缺的了。使用Matlab编写程序，虽然计算速度会比C、C++、Fortran等语言慢一些，但是却易于调试。本文中的程序只用了两次就调试成功。
差分格式虽然看起来都差不多，但是稳定性的各自不同。FTCS格式虽然具有二阶的精度，但是不收敛，精度再高也没有用。数值震荡在一开始或许并不大，但是随着计算的进行，震荡的量级就不容小觑了。
对于显示格式，都是条件稳定的，需要足够小才可以保证稳定条件。本文中的一维方程稳定性条件还不是很苛刻。但是如果问题是二维的，甚至是三维的，需要更小，计算量就会很大。
致读者
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