矩阵分析——QR分解_sam-X的博客-程序员宅基地
Gram-Schmidt正交化
在提到矩阵的QR分解前，必须要提到Gram–Schmidt方法，理论上QR分解是由Gram–Schmidt正交化推出来的。那么Gram–Schmidt正交化究竟是什么。
在三维空间存在直角坐标系，其中任意一点都可以由(x,y,z)坐标唯一确定，在这个坐标系中，X、Y、Z三轴都是相互正交(垂直)的。那么推广到n维欧式空间，就是n个线性无关的基向量组成的一组基，n维欧式空间中任意一位置，都可以由这组基线性表示。
那么就引出来另一个问题，怎么得到一组两两相互正交的正交基呢?这一过程就是Gram–Schmidt正交化。下面简
单推理一下Gram–Schmidt正交化方法的得出过程。重点是正交投影这种思想。
现在设
先令
由此可以得到
那么
由此可得
以上就是求正交基的Gram–Schmidt正交化方法。
QR分解
对于可逆矩阵A的列向量组
用矩阵表达即是：
T=(tij)，A=（
由此得到QR分解定义：
对于n阶方阵A，若存在正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得A = QR，则该式称为矩阵A的完全QR分解或正交三角分解。(对于可逆矩阵A存在完全QR分解)。
从上面可以看出矩阵QR分解是由Gram–Schmidt正交化推理出来的一种方阵分解形式，矩阵QR分解的计算方法也是以Gram–Schmidt正交化为核心。通过Gram–Schmidt正交化求出正交矩阵Q，再通过
这里对于Gram–Schmidt正交化求正交矩阵Q提出一种改进的计算方法(改进的地方是每产生一个单位正交向量后，就用后续的向量减去它，消去其中包含这个正交向量的部分)：
其实对于非方阵的m*n(m≥n)阶矩阵A也可能存在QR分解的，A = QR。这时Q为m*n阶的半正交矩阵，R为n*n阶上三角矩阵。这时的QR分解不是完整的(方阵)，因此称为约化QR分解(对于列满秩矩阵A必存在约化QR分解)。
同时也可以通过扩充矩阵A为方阵或者对矩阵R补零，可以得到完全QR分解。
参考资料：
《矩阵分析与计算》，李继根，张新发
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