漫步数学分析十三——路径连通_路径连续推导连续-程序员宅基地

第二个重要的主题是连通性，我们直观上知道想应用连通性到哪种集合上，然而，我们的直观在判断更复杂的集合时可能会失效，例如如果 $R^2$ 中的集合为 $\{(x,\sin 1/x)|x>0\}\cup\{(0,y)|y\in[-1,1]\}$ ，那么它是连通的吗？如图 $\ref{fig:3-3}$ 所示，现在我们想用严格的定义来形式化这个概念。

图1

事实上，有两个不同但彼此相互联系的连通概念，其中更加直观且实用的是路径连通(path-connectedness)，所以我们先从它入手，首先我们需要定义连接两点的曲线是什么。

$\textbf{定义2}$ 连接 $R^n$ 中两点 $x,y$ 的连续路径是一个映射： $\varphi:[a,b]\to R^n$ ，它满足 $\varphi(a)=x,\varphi(b)=y$ 且 $\varphi$ 是连续的，这里 $x,y$ 可能相等，也可能不相等 $b\geq a$ ，在随后的文章中我们会详细的研究连续映射，但是目前，如果对于 $[a,b]$ 中收敛到某个值 $t\in[a,b]$ 的每个序列 $t_k$ ，满足

(t k \to t) \Rightarrow (φ (t k) \to φ (t))

$(t_k\to t)\Rightarrow(\varphi(t_k)\to\varphi(t))$

那么我们就说 $\varphi$ 是连续的。(直观上来看，连续路径就是该路径上没有断点或跳跃点)如果对于所有的 $t\in[a,b]$ ， $\varphi(t)\in A$ ，那么我们说路径 $\varphi$ 位于集合 $A$ 中，如图 $\ref{fig:3-4}$ 所示。

如果集合 $A$ 中的任意两点被一条位于 $A$ 中的连续路径连接起来，那么我们就成集合 $A$ 是路径连续的(path-connected)。

例如，图 $\ref{fig:3-4}$ 中的区域 $A$ 是路径连通的，另一个路径连通集是区间 $[0,1]$ 本身。为了证明这个结论，令 $x,y\in[0,1]$ 并且定义 $\varphi:[0,1]\to R,\varphi(t)=(y-x)t+x$ ，这是连接 $x,y$ 的路径，它位于 $A=[0,1]$ 中。

利用上面路径连通的定义，有一个事实是图 $\ref{fig:3-4}$ 中的集合不是路径连通的，虽然这个事实得证明比较繁琐。许多时候判断集合是否是路径连通的非常容易，只需要看任何两点是否可以由位于集合中的曲线连接起来，并且几何直观也很明显。连通的第二个概念不太好直接判断，但是非常有用我们会在下一篇文章中给出。

图2

$\textbf{例1：}$ 下面那些集合是路径连通的？

(a) $[0,3]$
(b) $[1,2]\cup[3,4]$
(c) $\{(x,y)\in R^2|0<x\leq 1\}$
(d) $\{(x,y)\in R^2|0<x^2+y^2\leq 1\}$

$\textbf{解：}$ 只有(b)不是路径连通的，从图 $\ref{fig:3-5}$ 可以很明显的看出来。

$\textbf{例2：}$ 路径连通必须是闭的吗？或者开的？

$\textbf{解：}$ 不需要。[0,1],(0,1),[0,1)都是路径连通的。

$\textbf{例3：}$ 令 $\varphi:[0,1]\to R^3$ 是一个连续路径，并且 $\ell =\varphi([0,1])$ ，说明 $\ell$ 是路径连续的。

$\textbf{解：}$ 这在直观上很明显，因为我们可以用 $\varphi$ 本身取连接 $\ell$ 中的任意两点。更准确的说，如果 $x=\varphi(a),y=\varphi(b)$ ，其中 $0\leq a\leq b\leq 1$ ，令 $c:[a,b]\to R^3,c(t)=\varphi(t)$ ，那么 $c$ 是连接 $x,y$ 的路径且位于 $\ell$ 中。

图3

本文链接：https://blog.csdn.net/u010182633/article/details/54584146

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