Delaunay三角剖分(Delaunay Triangulation)相关知识_conforming delaunay-程序员宅基地
这篇Delaunay三角剖分(Delaunay Triangulation)相关知识的看到这个http://www.cnblogs.com/soroman/archive/2007/05/17/750430.html博客上人写的，我觉得写的非常通俗易懂，同时我也查阅了一些其他的资料，就一块做一下相关的总结。
1.Delaunay三角剖分&Voronoi图定义
概念及定义
二维实数域(二维平面)上的三角剖分
设x为平面上的点，则区域V(i)={x∈E2|d(x,vi)≤d(x,vj), j=1,2,...,N, j≠I}称为Voronoi多边形（简称V-多边形）。各点的V-多边形共同组成Voronoi-图（简称V-图）。
Delaunay三角网的定义：有公共边的V-多边形称为相邻的V-多边形。连接所有相邻的V-多边形的生长中心所形成的三角网称为Delaunay三角网（简称D-三角网）。
凸壳：D-三角网的外边界是一个凸多边形，它由节点集中的凸集形成。
限定Delaunay三角剖分：在实际使用中，人们往往希望能在一个特定的区域中进行三角剖分。同时，在剖分过程中保留一些指定的点和线段。这种三角剖分称为限定三角剖分。
存在两种限定Delaunay三角剖分：
（1） Constrained Delaunay Triangulation
在剖分的时候不能细分边界边和限定边，不允许加点，可能造成剖分出来的边界附近的三角形不符合Delaunay条件。
（2） Conforming Delaunay Triangulation
允许加点。
限定 Delaunay 三角剖分的思路是不断细分线段，知道细分后得到的三角剖分符合 Delaunay 条件。然而，如果没有好的细分策略，可能出现在某个局部区域添加无穷多个点，使得这个局部的三角网格单元出现尺寸趋于零的失败情况。定义1：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。
那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：
1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。
2.没有相交边。
3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集就是点集V的凸包。
那什么是Delaunay三角剖分呢?不过是一种特殊的三角剖分罢了。从Delaunay边说起。
Delaunay边
定义2：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：
存在一个圆经过a,b两点，圆内不含点集V中任何的点，这一特性又称空圆特性。
Delaunay三角剖分
定义3：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。
我们看几个图：
由上面的图引出Delaunay三角剖分的另一种定义：
定义4：假设T为V的任一三角剖分，则T是V的一个Delaunay三角剖分，当前仅当T中的每个三角形的外接圆的内部不包含V中任何的点。
Voronoi图
定义5：V的Voronoi图是由多边形区域的集合（有些区域可能不是闭合的），该区域仅含点集中的一个点v，区域中的任何位置到v的距离都比该位置到点集中其它所有点的距离短。
由Voronoi图和Delaunay三角剖分的关系，可以引出另一个Delaunay三角剖分的定义：
定义6：将Voronoi图相邻区域（共边的区域）中的点连接起来构成的图，称为Delaunay三角剖分。
如下图：
以下是点集的 Delaunay 三角剖分所具备的一些优良性质：
（1） 最接近性：点集中最近的两点必会形成一条 Delaunay 边。
（2） 唯一性：不论剖分过程如何，最终都将得到一样的结果（超过三点共
圆的退化情况除外）。
（3） 局部最优性：任意两个相邻三角形如果形成凸四边形，且对角线可以
互换，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。
（4） 最小角最大：如果将同一点集的所有三角剖分中的每个三角形的最小
角进行升序排列，则 Delaunay 三角剖分的排列按字典序最大。
（5） 变动的局部性：新增、删除、移动某一个点时只会影响附近的三角形。
（6） 具有凸包：Delaunay 三角剖分的边界形成一个凸包。
其中最重要的两个性质是：
（1）空外接圆性质：在由点集V所形成的D-三角网中，其每个三角形的外接圆均不包含点集V中的其他任意点。（最大空圆原则：剖分中任一三角形的外接圆(三维为外接球面，高维为超球面)内不含有点集中的任何其他点．最小内角最大原则又称为局部最优准则，这样获得的剖分称为局部最优(或局部等角)．）
（2）最大的最小角度性质：在由点集V所能形成的三角网中，D-三角网中三角形的最小角度是最大的。（最小内角最大原则：对于一个凸四边形的两种剖分，DT获得的两个三角形中的最小内角是最大的．）
由于这两个性质，决定了D-三角网具有极大的应用价值。同时，它也是二维平面三角网中唯一的、最好的。
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