离散数学1-数理逻辑的基本概念_…;∧-程序员宅基地

形式化的第一步：抽象(abstraction)：
仅关注命题的本质属性：真值，而抛弃其丰富的内涵；
仅关注逻辑联结词的本质属性：对真值的运算，而抛弃多变的语言表达方式。
然后是将这两者都变成符号，以规则相连接。
真命题用t表示，假命题用f表示。
原子命题一般用p, q, r, s或pi, qi, ri, si表示。
逻辑联结词用特殊符号来表示：并非(not)：¬ ；并且(and)：∧；或(or)：∨ ；如果……那么……(if ... then ...)：→ ；当且仅当(if and only if)：

2、联结词

（1）否定词(negation)“并非”(not)：¬

¬p的逻辑关系为p不成立

注意在包含多个对象判断的命题否定时，其意义的变化：

如： “天鹅都是白的”，其否定并不是“天鹅都不是白的” ，而是“天鹅不都是白的”或“ 并非所有天鹅都是白的”。

（2）合取词(conjunction)“并且”(and)： ∧

p∧q的逻辑关系为：p和q同时成立

（3）析取词（disjunction）”或”（or）：∨

p∨q的逻辑关系为p和q中至少一个成立

自然语言中的“或”可以符号化为∨，但有时要注意原命题中的“或”可能表示排斥性选择：

例如：

李四学过德语或法语（相容或）：p∨q

p: 李四学过德语， q: 李四学过法语

张三生于1972年或1973年（排斥或）： p∨q

p: 张三生于 1972 年， q: 张三生于 1973 年

（4）蕴涵词（implication）”如果…那么…”（if…then…）： →

p → q的逻辑关系是，p是q的 充分条 件 ，或者说q是p的 必要条件

p→q中的p称作蕴涵前件，q称作蕴涵后件，自然语言中的许多条件连接词都可以符号化为→，但是要注意条件的顺序，如： “只要 … 就 …” ， “ 如果 … 那么 …” ， “ 只有 … 才 …” ，自然语言中，条件语句一般都具有内在的联系，而数理逻辑中的蕴涵则仅是命题的一种连接，不一定具有什么内在联系。

例如：

只要 2是偶数，雪就是黑的： p→q

p: 2 是偶数， q: 雪是黑的

p 为真， q 为假，本命题为假

（5）双向蕴含词（two-way implication）”当且仅当”（if and only if）：

p q的逻辑关系是p与q 互为充分必 要条件 ，在p，q真值相同的情况下， p q为真

例如：

圆1和圆2面积相等当且仅当它们的半径相等： p q

p: 圆 1 和圆 2 面积相等， q: 圆 1 和圆 2 半径相等

不管 p 和 q 的真值如何， p q 为真

三、命题公式

命题公式(proposition formula)的组成成分

命题常元（proposition constants）：表示具体命题及表示常命题的p, q, r, s等和t,f
命题变元（proposition variables）：以“真，假”或者“1，0”为取值范围的变量，仍用p, q, r, s等表示

命题公式（proposition formula）：由命题常元、变元和联结词组成的形式更为复杂的命题

命题公式（ proposition formula ）定义

① 命题常元和命题变元是命题公式，特别的称作原子公式或原子

② 如果A,B 是命题公式，那么(¬A), (A∧B), (A∨B), (A→B), (A B)也是命题公式

③ 只有有限步引用上述两条所组成的符号串是命题公式

根据定义： (¬(p→(q∧r))) 是命题公式

以下式子都不是命题公式

(qp) ——> 没有联结词

(p1∧(p2∧… ——> 不是有限步

1、逻辑联结词优先级

联结词{¬,∧,∨,→, }中， ¬是一元联结词，其它都是连接两个命题的二元联结词

我们定义优先级为：¬, [∧∨], →, 除非有括号，否则按照优先级从高到低，从 左到右的次序结合

如：

¬p∨q 等同于 ((¬p)∨q)

p→q∧r→s 并不是 ((p→q)∧(r→s)) ，其实是 ((p→(q∧r))→s)

2、真值函数

如果将联结词看作逻辑运算符，那么包含命题变元p1, p2, …pn的公式A 可以看作是关于p1, p2, …pn的一个真值函数，每个变元的取值范围是 {0, 1} ，真值函数值的取值范围也是 {0, 1}。

对任意给定的p1, p2, …pn的一种取值状况组合，称为指派或者赋值（assignments），赋值用希腊字母 α , β 等表示，对于每个赋值，公式A均有一个确定的真值。这样，命题公式在形式上是一个规则的字符串，内容上则对应一个真值函数。

对于所有可能的赋值，公式A的真值可以用真值表来确定。当A(p1, p2, …pn)中包含有k个联结词时，公式A的真值表应为 2 n 行、 k+n 列，前 n 列是所有变元的取值组合，最后 1 列是公式A的真值。

当公式A对赋值α为真时，称α是A的成真赋值，或者α 弄真 A，记做 α(A)=1。反之，称α是A的成假赋值，或者α 弄假 A，记做 α(A)=0。

本文链接：https://blog.csdn.net/swadian2008/article/details/110206132

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