素数筛的改进-线性筛o(n)时间复杂度_线性筛素数时间复杂度-程序员宅基地
素数筛的时间复杂度是o（nloglogn）无限趋近于o(n)
为什么线性筛时间复杂度是真真正正的o(n)，因为完全避免了重复标记
一、基本思想概念
核心思想：用最大的因子来标记合数
有点迷糊？先上概念
约数和定理：对于一个大于1正整数n可以分解质因数
即任何大于1的整数都可以写成素因子连乘的形式（素因子：因子为素数）
举例：36 =2^2 * 3^2
最大因子M与最小因子P
N = M * P
以18分解为例
2 * 9
3 * 6
6 * 3
9 * 2
9作为最大因子M, 2作为最小因子P，
二，表现形式
9作为最大因子M时：只能标记 18 、27 、36
因为18,才是36 的最大因子，所以36不能标记
三、标记过程
以2~20为例：
假设一个动态数组专门存放素数：array[] = {};
第一次标记：第一个未标记元素自动存入array[], array[] = {2}
即数组中元素作为最小因子P，2~20依次作为最大因子M
关键：什么时候停止M* P
1：动态数组元素都作为最小P乘过了
2：M%P ==0（下面解释说）
| 过程一 | array[] = {2}，最大因子M=2，最小因子P从array[0]开始遍历 ，即P=2 | M*P可标记———》 |
|---|---|---|
| 过程二 | 3未标记 ，即array[] = {2、3} 最大因子M=3，最小因子P从array[0]开始遍历 | M*P可标记———》 |
| 过程三 | 4已经被标记 ，没有元素进入动态数组，array[] = {2、3} 最大因子M=4，最小因子P从array[0]开始遍历 | M*P可标记———》 |
| 当M%P= 0，说明会M中含有=P的因子 即4%2 = 2 ，若 P由2升到3，P就不是最小的因子了，因为4中含有真正的最小因子 | ||
| 过程四 | 5未标记 ，即array[] = {2、3、5} 最大因子M=5，最小因子P从array[0]开始遍历 | M*P可标记———》 |
| 过程五 | 6已标记 ，即array[] = {2、3、5} 最大因子M=6，最小因子P从array[0]开始遍历 | M*P可标记———》 |
| …… | …… | …… |
| 过程n | M=20 ，遍历完成， 标记结束 | 输出array[] |
是不是发现M%P=0 的奇妙之处了；下面我们来实现它
四、实现过程（打印100以内的素数）
代码如下：
#include <stdio.h>
#define max_n 100
int prime[max_n +5];
void init(){
for(int i = 2; i <= max_n; i++){
//i相当于最大因子
if(!prime[i]) prime[++prime[0]] = i; //将prime[0]看做一个变量，用以记录动态数组中素数的个数
for(int j = 1;j <= prime[0]; j++) {
//prime[j]相当于最小因子
if(prime[j] * i > max_n) break; //退出：相乘超过最大范围
prime[prime[j] * i] = 1;
if(i % prime[j] == 0) break; //最大因子中含有=最小因子的因子，所以表 示最小因子
} //的动态数组素数不能向后遍历了
}
}
int main(){
init();
for (int i = 1; i <= prime[0]; i++){
printf("%d\t",prime[i]);
if(i % 5 == 0) puts("\n"); //每5个数据换行输出
}
puts("\n");
printf("prime[0] = %d\n",prime[0 ]);
return 0;
}
输出结果：
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