先打广告，所有的算法作业我都会把代码更新在我的GitHub上
滑技工厂——Homework-AlgorithmAnalysis

希望大家能打个小，谢谢

依旧是算法作业，这次是整数划分问题。

在网上找了半天，大多都是求整数划分有多少种，很少求详细的划分情况。

有也都是C语言版的，并找不到Java的。

于是我便想出一个Java的（其实差不多，只是如果有人需要Java版的方便搜到）

问题

说明一下问题，什么是整数划分？

n=m1+m2+…+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

举个例子，当n=6时我们可以获得以下这几种划分：
6=6
6=5+1
6=4+2
6=4+1+1
6=3+3
6=3+2+1
6=3+1+1+1
6=2+2+2
6=2+2+1+1
6=2+1+1+1+1
6=1+1+1+1+1+1

分析

这样子也非常容易看出来，n的整数划分是建立在n-1的基础上的，所以是可以有递推公式的。

单个参数我们很难找到递推式，于是我们增加一个参数m，表示一个划分结果中的最大加数。

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

1. 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

2. 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1};

3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

   (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

   (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。 因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

4. 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于q(n,n);

5. 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

   (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m，因此这情况下为q(n-m,m)

   (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为q(n,m-1);

因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

代码

求整数划分种数

/*
     * @Title division
     * @Description 整数划分方法
     * @author 滑技工厂
     * @Date 2020/3/8
     * @param [n, m]   n->要划分的整数  m->最大加数
     * @return int 输出有多少种划分
     * @throws
     */
    public static int division(int n, int m) {
    
        if (n < 1 || m < 1)
            return 0;
        if (n == 1 || m == 1)
            return 1;
        //最大加数如果大于n 则另最大加数为n
        if (n < m)
            return division(n, n);
        //m=n，则从
        if (n == m)
            return division(n, m - 1) + 1;

        return division(n, m - 1) + division(n - m, m);

    }

求具体划分情况

	static int mark[] = new int[100];//记录分解情况
    static int n;
    /*
     * @Title divide
     * @Description 输出划分
     * @author 滑技工厂
     * @Date 2020/3/8
     * @param [now, k, pre]
     * @return void
     * @throws
     */
    public static void divide(int now, int k, int pre) {
    
        int i;
        //数组长度大于n就返回
        if (now > n) return;

        if (now == n) {
    

            System.out.printf("%d=", n);
            for (i = 0; i < k - 1; i++) {
    
                System.out.printf("%d+", mark[i]);
            }
            System.out.printf("%d\n", mark[i]);
        } else {
    
            for (i = pre; i > 0; i--) {
    
                if (i <= pre) {
    
                    mark[k] = i;
                    now += i;
                    divide(now, k + 1, i);
                    now -= i;
                }
            }
        }
    }

以6为例，得到的结果为

完结撒花✿，赠人玫瑰。