1. 原码

原码是有符号定点数的一种编码方式，规定了最高位为1代表负数，为0代表正数，数值位是数据的二进制真值。具体来说，又分为原码整数与原码小数，其中，原码整数的小数点默认在最低位的右边（隐式存在），原码小数的小数点默认在符号位的右边（隐式存在），此外，原码整数是在高位补0，而小数是在低位补0。

例如，-3的原码（4bit）为1011，-0.75的原码（4bit）为1.110。要注意的是，计算机内储存的二进制数是不存小数点的，小数点都是隐式存在的，书面表达时会标注小数点是为了方便理解。

然而，虽然原码规定了正数与负数，整数与小数的储存方法，但我们无法统一的用加法器对它们进行运算，例如（均用加法器）：

1. 两正数相加：0110 (6) + 0011 (3) = 1001（9） √
2. 两负数相加：1110 (-6) + 1011 (-3) = 11001（25）x
3. 正与负相加：1110 (-6) + 0011 (3) = 10001（17）x

综上，可见，用加法器是无法实现对负数原码进行计算的。那么，是否用减法器就能解决问题了呢，我简单查阅了一下资料。

补充：为什么没有减法器？

以下引用自百度百科：

ALU必须与数字电路的其他部分使用同样的格式来进行数字处理。对现代处理器而言，数值一律使用二进制补码表示。早期的计算机曾使用过很多种数字系统，包括反码、符号数值码，甚至是十进制码，每一位用十个管子。 以上这每一种数字系统所对应的ALU都有不同的设计，而这也影响了当前对二进制补码的优先选择，因为二进制补码能简化ALU加法和减法的运算。 一个简单的能进行与或非和加运算的2位ALU。

可见，当下用补码作为数值的二进制储存方法，并用加法器来实现减法运算，不是一蹴而就的，也是慢慢发展而来，最终由于这种方法实现较为简单而被采用。

又简单搜了一下，更精简的算术逻辑单元似乎可以使cpu主频更高，但有待考证，先写在这里。

2. 模运算

通过上面的分析，已知当前cpu里没有减法电路了，那么如何用加法器来实现减法呢？先说结论：用补码。但在介绍反码和补码之前，想要先简单介绍一下模运算。

想象一下，在角度里，如果想要表示第一象限里的30°，则既可以描述为+30°，又可以描述为-330°，且任何一个度数加上或减去360°都可以认为角度没有变化（只是转了一圈）。

在上面的例子里，可以称30°与-330°进行模360°运算时，余数是一样的，均为30，因此，可以理解为，30和-330在运算时是等价的。即x-330，与x+30是等价的。通过这样的方式，就可以把减法转换为加法进行运算。

在二进制数里，由于位数有限，且溢出的部分会被丢弃，因此，也导致了这样的现象，以大小为4bit的数为例，它可以存的最大值是2⁴-1即15，而15+1时，储存的二进制数就变回了0，（因为最高位的1超出了4位，被溢出截断了），它就像24小时或者360°一样，也有一个范围限制。

因此，同样可以通过对这个范围进行模运算，求出与负值等价的正值，来将减法转变为加法。例如，3-1=2（0010）可以改写为3+15=18（10010，截断最高位的1后也是0010），而-1模2⁴的余数与15模2⁴的余数是相等的，都是15，因此，它们可以被视为等价。

其实，讲的再通俗易懂一点，任何一个数加上10000（二进制），都不会改变它的大小，因为一个限定为4位的二进制数会把10000视作0，就像，任何一个角度加上360度，它的最终朝向都不会有变化一样。

因此，一个包含负数的表达式，后面无论加上多少个10000，或者360°，大小都不会有变化，基于该显而易见的理论，就可以更简单的理解为什么3-1=3+15，因为3-1+2⁴=3-1+0=3-1。

而要计算与一个负数等价的正数，也可以简单的将这个负数与最大范围相加，直到出现正数为止，例如-330°+360°=30，因此，30°与-330°等价。

理论推导和数学定义就不写了，贴一个视频在这里，感兴趣的可以自己看下：计组网课p15，主要是简单理解下通过模运算是将减法转为加法的根基。

3. 反码＆补码

上一小节分析了如何将减法转为加法，还是以4位二进制数为例，-1的原码是1001，与-1等价的正数是-1+2⁴=15（1111），因此，如果能够通过一种方式，将负值的原码转为等价正值的原码，那就可以用加法器计算减法了，而这个所谓的等价正值的原码，就是补码。

分析一下如何得到补码，还是以4位为例：

设x为一个负数的原码，最大范围是2⁴,补码为y，则x+2⁴=y，这里只加2⁴即可，是默认了x＜2⁴，如果它超过了这个值，那也无法被只能容纳4位的数据类型储存。

已知y为所求，x+2⁴=y，y-x=2⁴=10000=1111+1，1111=y-1+(-x)，设y-1=z，则可整理出表达式为：z+(-x)=1111，其中，由于x为负数，因此-x为正数，即在x的原码基础上，将最高位改为0。

显而易见，z的求法，是将-x的原码按位取反，例如，0110+1001=1111,0110和1001是按位取反的关系，又已知-x跟x在原码上的区别只是最高位，因此，也可以说，z=x除最高位外按位取反，而z就是反码。

又已知z=y-1，因此，y=z+1，即补码等于反码加1。

此外，正数的反码和补码跟原码都是一样的，因为首先，与它等价的其余正数都超过4位能容纳的最大值了，其次，补码本身就是针对负数的。

综上所述，补码的出现，是为了将减法统一为加法，而补码的计算方法是基于模运算的理论，此外，反码是计算过程中的一个中间值，一般不直接参与计算。

4. 移码

移码的出现，主要是为了在硬件层面方便对比两个数的大小，它常见于储存浮点数的阶数。

简单来说，在整数相加的过程中，只要直接计算即可，但是浮点数相加的过程中，有一个对比阶数的过程，用10进制举例，3.2x10¹²+1.5x10¹⁰=3.2x10¹²+0.15x10¹²=(3.2+0.15)x10¹²,最后的阶数是12，即12和10中的较大值，可见，在浮点数计算过程中，有一个阶数对比的步骤。

补：为什么不统一为阶数的较小值呢，因为浮点数中数值位是一个定点小数，小数点永恒定在开头，如果统一为较小值，就变成了（320+1.5）x10¹⁰，数值位的小数点就不是永远定在开头了，而是会变化，显然不方便机器层面的运算。

综上，得到优化目标为：加速阶数的大小对比。

已知数值都是用补码储存的，从小到大列出4位二进制数的补码如下：

真值	补码	移码
-8	1000	0000
-7	1001	0001
-6	1010	0010
-5	1011	0011
-4	1100	0100
-3	1101	0101
-2	1110	0110
-1	1111	0111
0	0000	1000
1	0001	1001
2	0010	1010
3	0011	1011
4	0100	1100
5	0101	1101
6	0110	1110
7	0111	1111

观察一下就能发现，如果按照01234567，-8，-7，-6…-1这个顺序来看补码，刚好是将补码从小到大的排序！因此，只要将补码稍稍“移动”一下，就能得到可以很简单的对比大小的移码！

补：为啥说移码对比起来简单呢，举个例子，0111和1010比大小，从左到右遍历，先出现1的就更大，如果同时出现了1，那么下一个先出现1的就更大。所以其实移码就是，把补码移动一下，变成n位二进制数从小到大排列而已。而这个“移动”的过程，需要加上一个值，这个值就叫偏置值。

上述这种，移码的0从n位二进制数的最小值开始的情况，的计算方法是补码+2^n-1,分析一下，要从上表的补码变成移码，就像捏着补码的0000，往上提8（2^n-1，负数的最大值的绝对值）个格子，往上提1个格子的话，真值0对应的移码会变成0001，即0000+1，因此，提2^n-1个格子，对应的计算方法就是补码+2^n-1了。

而补码=真值+2ⁿ，因此，移码=补码+2^n-1=真值+2ⁿ+2^n-1=（真值+2^n-1）+2ⁿ，也就是说，偏置值2^n-1直接作用于真值也是可以的，此外，由于-2^n-1是n位二进制数的最小值，因此真值一定≤2^n-1，（真值+2^n-1）一定≥0，因此，+2ⁿ就等于＋0（正数的补码等于原码）。

因此，综上所述，如果手动计算移码的话，把真值+偏置值的结果直接转成二进制原码就行了。

然而不一定所有移码的0都是从n位二进制数的最小值开始，如float类型里阶数的移码形式，0是从-127开始的，它把-128和-127这两个状态单独扣出来有特殊用处，这就是按照不同需求，设置不同的移码实现方式了。

5. 总结

补码的出现，是为了用加法器实现减法运算，而移码的出现，是为了使得两个有符号整数对比的更快速，而现在常用的计算这两个码的方法，如补码是原码除最高位外取反+1，移码是真值+偏置值，这是基于理论推导后得出的等价算法，不那么好理解，但算起来很简单。