数字信号处理基础----傅里叶变换_数字信号处理傅里叶变换-程序员宅基地

1 周期矩形脉冲的傅里叶级数

1.1 周期有限

将周期矩形脉冲信号用复指数信号进行展开。由上一篇博客中介绍的，一个复指数和自己进行内积，得到的结果是1，所以，最终可以得到复指数形式的傅里叶级数的展开系数。
将原来的系数C_k换成F(kω₀)，可以将傅里叶级数的系数，看作是一个频率的函数，也叫做傅里叶级数的频谱函数。
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1.2 周期趋近无穷

若现在使这个周期函数的周期变大，由于傅里叶级数的表达式前面有一个1/T，那么可以看到频谱的幅度会变小。与此同时，由于ω₀ = 2π/T,所以频谱之间的间隔会变小，也就频谱会变密。
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若周期变为无穷∞大，那么频谱的幅度就会趋近于0，并且频谱之间的间隔也会趋近于零，也就是，频谱将会变得连续。

1.3 频谱密度函数

因为当周期信号的周期趋近于∞的时候，频谱的幅度趋近于0，为了能够更好地分析信号，需要对上面的傅里叶级数进行进一步的分析。
根据

T= 1/f₀ ;
2πf = ω₀

可以得到如下式子：
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对于 F(kω₀)/ω₀ , 可以换一种思路来看待，由于 ω₀ 也趋近于0，并且两条谱线之间的距离为 ω₀ ，因此F(kω₀)可以看作是一个小矩形的面积。因此可以将 F(kω₀)/ω₀ 看作是一个密度函数，也就是频谱密度函数。
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2 傅里叶变换与傅里叶逆变换

2.1 傅里叶变换

对于一个非周期信号，可以采用频谱密度函数来类似的表示“傅里叶级数”，这个过程被称作为傅里叶变换。
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2.2 傅里叶变换的逆变换

由前面的知识可以知道，要用复指数信号来表示一个信号，就是将这个信号在复指数集当中对各个分量进行投影，求得系数，将这些系数和复指数相乘并累加，最终能够表示出这个信号。

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其中 C_k 在前面已经用 F(kω₀) 进行了替换，因此可以将信号的叠加表示成如下形式：

由于当当周期趋于无穷的时候， F(kω₀) 趋于0，因此需要对上式子进一步处理。就是根据微分和积分的定义，由微小量进行积分，最终能够得到信号的表达。
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3 傅里叶级数与傅里叶变换的关系

总结一下傅里叶变换和傅里叶级数，可以联系两者之间的关系和不同。
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对于周期信号，其在时域上表现为周期的，在频域上是离散的。
对于非周期信号，其在时域上表现为非周期，在频域上是连续的。

对于一个周期信号，其由一组正交函数集来表示的时候，所需要的正交函数集的间隔是固定的，且间隔不为一个趋近于0的值。
对于一个非周期的信号，用一组正交函数集来表示的时候，所需的正交函数集的间隔很小，趋近于0。
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参考：

深入浅出数字信号处理

本文链接：https://blog.csdn.net/qq_41332806/article/details/108331650

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