数值计算之插值法（5）分段插值，埃尔米特插值_分段插值函数-程序员宅基地

技术标签：算法矩阵线性代数概率论与机器学习

数值计算之插值法（5）分段插值，埃尔米特插值

前言
分段插值
- 分段线性插值
- 分段二次插值
埃尔米特Hermite插值
后记

前言

之前记录了多项式插值法和龙格现象，以及使用切比雪夫零点插值的方法。本篇讲解分段插值和埃尔米特插值法。

分段插值

当多项式次数升高时，可能出现龙格现象，插值精度不一定升高。因此，可以将相邻的节点作为一个插值区间，形成多个插值多项式的组合。

分段线性插值

加入待插值函数 $f (x)$ 有节点 $(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),\dots,(x_n,f(x_n)),x_0<x_1<\dots<x_n$ ，则用线性函数 $f_i(x)$ 插值 $x_i,f(x_i)),(x_{i+1},f(x_{i+1})),0<i<n-1$ ，然后将所有 $f_i$ 组合成 $f (x)$ 的插值结果。
在这里插入图片描述
由上图可以看出，分段插值结果精度较好，但不平滑。

分段二次插值

与分段线性插值类似，将每段用于插值的多项式换为二次多项式，就是分段二次插值。

实际上，分段多次插值就是将插值区间分段后，运用多项式插值法处理每一段，拼接后获得插值结果。

虽然分段多次插值法能够提升插值的精度，但是插值结果失去了平滑性。

埃尔米特Hermite插值

埃尔米特插值原理

所谓平滑性，即插值结果在整个插值区间上的连续性和可导性。由于分段插值只考虑了局部节点的函数值，插值结果在整体区间上可能不可导。

为了满足插值平滑性需求，插值不仅考虑节点处的函数值，还要考虑其导数值，就是埃尔米特插值法。

埃尔米特插值原理：在插值区间 $[a, b]$ 上，对于待插值函数 $f (x)$ ，其节点函数值满足 $(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),\dots,(x_n,f(x_n))$ ，节点导数值满足 $(x_0,f'(x_0)),(x_1,f'(x_1)),\dots,(x_n,f'(x_n))$ ， $a<x_0<x_1<\dots<x_n<b$ ，则存在唯一一个2n+1次多项式 $H(x)=a_0+a_1x+\dots+a_{2n+1}x^{2n+1}$ 作为 $f (x)$ 的插值结果。

埃尔米特插值公式

可以通过拉格朗日插值的思维来构造埃尔米特插值：
$H(x)=\sum_{j=0}^n (P_j(x)f(x_j)+Q_j(x)f'(x_j)) \\ \quad \\ P_j(x)=\begin{cases} 0,&x \ne x_j \\ 1,&x=x_j \\ \end{cases} \\ \quad \\ Q_j(x)=\begin{cases} 0,&x \ne x_j \\ 0,&x=x_j \\ \end{cases} \\ \quad \\ P'_j(x)=\begin{cases} 0,&x \ne x_j \\ 0,&x=x_j \\ \end{cases} \\ \quad \\ Q'_j(x)=\begin{cases} 0,&x \ne x_j \\ 1,&x=x_j \\ \end{cases} \\ \quad \\$

假设 $L_j(x)$ 是使用拉格朗日插值法对 $f (x)$ 的函数值插值时的基函数，则埃尔米特插值公式可具体表示为：
$P_j(X)=(1-2(x-x_j)L'_j(x_j))L_j^2(x) \\ \quad \\ Q_j(x)=(x-x_j)L_j^2(x) \\ \quad \\ H(x)=\sum_{j=0}^n (P_j(x)f(x_j)+Q_j(x)f'(x_j)) \\ \quad \\$

分段三次埃尔米特插值

埃尔米特插值的次数也很高，因此也会产生龙格现象。因此，以相邻两个节点分段，采用埃尔米特插值每一段函数的方法，就是分段三次埃尔米特插值法。
在这里插入图片描述

分段三次埃尔米特插值的结果在节点附近是比较平滑的。但是，三次埃尔米特插值只考虑了节点处的一阶导，因此其平滑性也有局限性。

后记

下篇将介绍样条插值，也是插值法的最后一章。

本文链接：https://blog.csdn.net/qq_41035283/article/details/121441891

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