生成两组相互独立服从标准正态分布的随机数（推导过程）_jump 2组数据做正态分布_cshgiser的博客-程序员秘密

生成两组相互独立服从标准正态分布的随机数（推导过程）

- 预备知识：均匀分布的特殊地位
- 生成两组独立的服从标准正态分布的随机数

预备知识：均匀分布的特殊地位

设 $F (x)$ 满足：（1）单调不减（2） $F(-\infty)=0$ , $F(\infty)=1$ （3）左连续。对于 $0 \leq y \leq 1$ ，定义 $F^{-1}(y)=inf\{x:F(x)>y\}$ 为 $F (x)$ 的反函数

可见任何分布的分布函数均满足上面条件

若 $\xi$ 服从 $F (x)$ ，记 $\theta=F(\xi)$ ，可知 $0≤\theta≤1$
其分布函数:
$F_\theta(x)=p(\theta<x)=p(F(\xi)<x)=p(\xi<F^{-1}(x))=F(F^{-1}(x))=x$

可得， $\theta$ 的分布函数：
$F_\theta(x)= \begin{cases} 1 & \text{x＞1}\\ x & \text{0≤x≤1}\\ 0 & \text{x<0} \end{cases}$
$\theta$ 的密度函数：
$p_\theta(x)= \begin{cases} 1 & \text{0≤x≤1}\\ 0 & \text{其他} \end{cases}$
所以 $\theta$ 服从0-1均匀分布

任意变量经过自身分布函数的变换后就变成了0-1均匀分布，相反，若 $\theta\thicksim U[0,1]$ ，取 $\xi=F^{-1}(\theta)$ ，其中 $F^{-1}(x)$ 是 $\xi$ 的分布函数的反函数，则此时 $\xi$ 服从相应的分布函数。因此，可由生成的一组服从 $U [0, 1]$ 分布的变量 $\theta$ ，经过 $F^{-1}(\theta)$ 变换后生成服从相应分布的一组变量。

这是对可以写出分布函数并能写出分布函数反函数的一些随机变量，生成对应分布随机数值的一种方法。（1）生成[0,1]之间随机数；（2）写出要求分布的分布函数的反函数；（3）带入反函数求解。

例如指数分布：
$\xi\thicksim p(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{x≥0, }\lambda>0\\ 0 & \text{x<0} \end{cases}$
$\begin{cases} 1-e^{-\lambda x} & \text{x≥0, }\lambda>0\\ 0 & \text{x<0} \end{cases}$

生成 $\theta\thicksim U[0,1]$ 的一组随机数（上图），将该随机数进行变换： $x=-1/2ln(1-\theta)$ ，如果这里参数取 $\lambda=2$ 。生成的新的一组数符合 $\lambda=2$ 的指数分布（下图）。

在这里插入图片描述

而对于标准正态分布 $N (0, 1)$ ，它的密度函数：
$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$
由于正态分布的分布函数没有解析式，难以根据分布函数求反函数来获取相应的随机数，这里提出新的方法。

生成两组独立的服从标准正态分布的随机数

背景题目：
设 $\xi$ 、 $\eta$ 独立同分布于 $N (0, 1)$ ，即：
$p_\xi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\\ p_\eta(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$
两者相互独立，联合密度函数等于边际密度函数乘积：
$(\xi,\eta)\thicksim p(x,y)=\frac{1}{ {2\pi}}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$
设变量 $(\rho,\phi)$ 满足：
$(\rho,\phi)=f(\xi,\eta): \begin{cases} \rho=(\xi^2+\eta^2)^{1/2}\\ \phi=tan^{-1}(\eta/\xi) \end{cases}$
则：
$(\xi,\eta)=f^{-1}(\rho,\phi)=h(\rho,\phi): \begin{cases} \eta=\rho cos\phi\\ \xi=\rho sin\phi \end{cases}$

雅可比行列式：

$|J|=\begin{vmatrix}\frac{\partial h_1}{\partial\rho} & \frac{\partial h_1}{\partial\phi} \\\frac{\partial h_2}{\partial\rho} &\frac{\partial h_1}{\partial\phi} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}cos\theta & -rsin\theta \\sin\theta & rcos\theta \end{vmatrix}=r$

可求得 $(\rho,\phi)$ 联合密度函数：

$(\rho,\phi)\thicksim q(r,\theta)=p(x,y)|J|\\ =\frac{1}{ {2\pi}}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}*r\\ =\frac{1}{ {2\pi}}e^{-\frac{(rcos\theta)^2+(rsin\theta)^2}{2}}*r\\ =\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}*r\\ =re^{-\frac{r^2}{2}}*\frac{1}{2\pi}\\ =q_\rho(r)*q_\phi(\theta)$

恰好是两个相互独立的分布的乘积：瑞利分布和 $U[0,2\pi]$

瑞利分布和均匀分布可以根据 前面均匀分布的特殊地位，首先生成两组0-1均匀分布的变量 $u_1$ 和 $u_2$ ，通过瑞利分布函数、 $U[0,2\pi]$ 分布函数反函数的变换使得两组数分别满足瑞利分布和 $U[0,2\pi]$ 分布。再将两组数根据如下变换（二维向量的变换）：

$\begin{cases} \xi=\rho cos\phi\\ \eta=\rho sin\phi \end{cases}$
得到两组独立的标准正态分布

具体操作如下：

生成两组0-1均匀分布随机数 $u_1$ 和 $u_2$
已求得瑞利分布和 $U[0,2\pi]$ 的密度函数，通过积分求他们的分布函数：
瑞利分布(r>0)：
$F(r)=1-e^{-\frac{r^2}{2}}$
$U[0,2\pi]$ 均匀分布( $0≤\theta≤2\pi$ )：

$G(\theta)={\frac{\theta}{2\pi}}$

分别求他们的反函数：
瑞利分布：
$F^{-1}(u_1)=[-2ln(1-u_1)]^{1/2}$
$U[0,2\pi]$ 均匀分布：

$G^{-1}(u_2)=2\pi u_2$

再代入如下变换：
$\begin{cases} \xi=\rho cos\phi\\ \eta=\rho sin\phi \end{cases}$
得到：
$\xi=[-2ln(1-u_1)]^{1/2}cos(2\pi u_2)\\ \eta=[-2ln(1-u_1)]^{1/2}sin(2\pi u_2)$
则 $\xi$ 和 $\phi$ 是相互独立的 $N (0, 1)$ 随机数。
也可直接写为：
$\xi=[-2ln(u_1)]^{1/2}cos(2\pi u_2)\\ \eta=[-2ln(u_1)]^{1/2}sin(2\pi u_2)$
$u_1$ 和 $u_2$ 均是0到1区间内， $1-u_1)$ 和 $u_1$ 生成的随机数是一样的

试验如下（matlab）：

u1=rand(1,10000)
u2=rand(1,10000)
y1=sqrt(-2*log(1-u1)).*cos(2*pi*u2)
y2=sqrt(-2*log(1-u1)).*sin(2*pi*u2)

在这里插入图片描述

本文链接：https://blog.csdn.net/qq_40821274/article/details/103384829

原作者删帖不实内容删帖广告或垃圾文章投诉

智能推荐

HttpClient连接超时及读取超时_weixin_30633405的博客-程序员秘密

HttpClient连接超时及读取超时httpClient在执行具体http请求时候有一个连接的时间和读取内容的时间；HttpClient连接时间所谓连接的时候是HttpClient发送请求的地方开始到连接上目标url主机地址的时间，理论上是距离越短越快，线路越通畅越快，但是由于路由复杂交错，往往连接上的时间都不固定，运气不好连不上，HttpClient的默认连接时...

ida动态调试so,附加成功后找不到目标so_叶辛的博客-程序员秘密

本人接触反编时间也有半年了,一直不太会ida动态调试so,从网上看好多帖子也没成功,这次自己写了个demo app 调试到这里就找不到我写的so了,不知道哪里出错了,求指点这是我写的so内容下面是我的操作步骤1.ida静态打开so ok的,2.root真机小米5 一台进入root手机里启动 android_serverr3.adb forward tcp:2...

obs linux编译,obs-studio模块分析与源码编译_weixin_39978863的博客-程序员秘密

一：直播简介在线教育，娱乐直播等近几年已是遍地开花，其中核心脱离不了低延时音视频技术。我们抛开互动技术不谈，来了解一下视频直播技术。直播大致流程如下图：采集： Windows(dshow，dsound)， ios，mac(AVFoundation，AVCaptureSesssion)， android(Camera，AudioRecord)，Linux(v4l2)音视频原始数据：audio(pcm...

[USACO3.4.4]rockers_wzporz的博客-程序员秘密

Raucous RockersYou just inherited the rights to N (1 <= N <= 20) previously unreleased songs recorded by the popular group Raucous Rockers. You plan to release a set of M (1 <= M <= 20) compact

【Web】C++ Http -- 记一次使用第三方http请求的问题解决_Qyee16的博客-程序员秘密

使用一个第三方的http请求，在VS里打印如下，而作者在处理时，以\r\n\r\n处理获取头部，剩余部分全部作为了body，害的我追了几个小时，又实用wireShark抓包，，啦啦啦HTTP/1.1 200 OK\r\nDate: Tue, 14 Jun 2016 17:42:00 GMT\r\nServer: Apache/2.4.7 (Ubuntu)\r\nVary: Accept-Enc

Oracle em重新配置_clpjbw1550的博客-程序员秘密

在网络上查询了关于emca的已经使用方法主要是以下这些：1、使用emca -deconfig dbcontrol db命令删除配置2、使用emca -repos drop删除repository3、使用emca -c...