大多数据结构课本中，串涉及的内容即串的模式匹配，需要掌握的是朴素算法、KMP算法及next值的求法。在考研备考中，参考严奶奶的教材，我也是在关于求next值的算法中卡了一下午时间，感觉挺有意思的，把一些思考的结果整理出来，与大家一起探讨。

本文的逻辑顺序为
1、最基本的朴素算法
2、优化的KMP算法
3、应算法需要定义的next值
4、手动写出较短串的next值的方法
5、最难理解的、足足有5行的代码的求next值的算法
所有铺垫为了最后的第5点，我觉得以这个逻辑下来，由果索因还是相对好理解的，下面写的很通俗，略显不专业…

一、问题描述

给定一个主串S及一个模式串P，判断模式串是否为主串的子串；若是，返回匹配的第一个元素的位置（序号从1开始），否则返回0；如S=“abcd”，P=“bcd”，则返回2；S=“abcd”，P=“acb”，返回0。

二、朴素算法

最简单的方法及一次遍历S与P。以S=“abcabaaaabaaacac”,P="abaabcac"为例，一张动图模拟朴素算法：

这个算法简单，不多说，附上代码

#include<stdio.h>
int Index_1(char s[],int sLen,char p[],int pLen){//s为主串，sLen为主串元素个数，p为模式串，pLen为模式串的个数
    if(sLen<pLen)return 0;
    int i = 1,j = 1;
    while(i<=sLen && j<=pLen){
        if(s[i]==p[j]){i++;j++;}
        else{
            i = i-j+2;
            j = 1;
        }
    }
    if(j>pLen) return i-pLen;
    return 0;
}
void main(){
    char s[]={' ','a','b','c','a','b','a','a','a','a','b','a','a','b','c','a','c'};//从序号1开始存
    char p[]={' ','a','b','a','a','b','c','a','c'};
    int sLen = sizeof(s)/sizeof(char)-1;
    int pLen = sizeof(p)/sizeof(char)-1;
    printf("%d",Index_1(s,sLen,p,pLen));
}

三、改进的算法——KMP算法

朴素算法理解简单，但两个串都有依次遍历，时间复杂度为O(n*m)，效率不高。由此有了KMP算法。
一般的，在一次匹配中，我们是不知道主串的内容的，而模式串是我们自己定义的。
朴素算法中，P的第j位失配，默认的把P串后移一位。
但在前一轮的比较中，我们已经知道了P的前(j-1)位与S中间对应的某(j-1)个元素已经匹配成功了。这就意味着，在一轮的尝试匹配中，我们get到了主串的部分内容，我们能否利用这些内容，让P多移几位(我认为这就是KMP算法最根本的东西)，减少遍历的趟数呢？答案是肯定的。再看下面改进后的动图：

这个模拟过程即KMP算法，若没有看明白，继续往下看相应的解释，理解需要把P多移几位，然后回头再看一遍这个图就很明了了。

相比朴素算法：
朴素算法： 每次失配，S串的索引i定位的本次尝试匹配的第一个字符的后一个。P串的索引j定位到1；T(n)=O(n*m)
KMP算法： 每次失配，S串的索引i不动，P串的索引j定位到某个数。T(n)=O(n+m)，时间效率明显提高

而这“定位到某个数”，这个数就是接下来引入的next值。（实际上也就是P往后移多少位，换一种说法罢了：从上图中也可以看出，失配时固定i不变，令S[i]与P[某个数]对齐，实际上是P右移几位的另一种表达，只有为什么这么表达，当然是因为程序好写。）

开——始——划——重——点！（图对逻辑关系比较好理解，但i和j的关系对后面求next的算法好理解！）

• 比如，P_j处失配，绿色的是P_j，则我们可以确定P₁…P_j-1是与S_i…S_i+j-2相对应的位置一一相等的
  

• 假设P₁…P_j-1中，P₁…P_k-1与P_j-k+1…P_j-1是一一相等的，为了下面说的清楚，我们把这种关系叫做“首尾重合”
  

• 那么可以推出，P₁…P_k-1与S_i…S_i+j-2
  

• 显然，接下来要做的就是把模式串右移了，移到哪里就不用多说了：
  

• 为了表示下一轮比较j定位的地方，我们将其定义为next[j]，next[j]就是第j个元素前j-1个元素首尾重合部分个数加一，当然，为了能遍历完整，首尾重合部分的元素个数应取到最多，即next[j]应取尽量大的值，原因挺好理解的，可以想个例子模拟一下，会完美跳过正确结果。在上图中就是绿色元素的next值为蓝色元素的序号。也即，对于字符串P，next[8]=4。如此，再看一下上面的动图是不是清楚了不少。

• 最后，如果我们知道了一个字符串的next值，那么KMP算法也就很好懂了。相比朴素算法，当发生失配时，i不变，j=next[j]就好啦！接下来就是怎么确定next值了。

四、手动写出一个串的next值

我们规定任何一个串，next[1]=0。(不用next[0]，与串的所有对应)，仍是一张动图搞定问题：

这个扫一眼就能依次写出，会了这个方法，应付个期末考试没问题了。

通过把next值“看”出来，我们再来分析next值，这就很容易得到超级有名的公式了，这个式子对后面的算法理解很重要！所以先要看懂这个式子，如果上面的内容通下来了，这个应该很容易看懂了：

五、求next的算法

终于到了最后了~短的串的next值我们可以“看”出来，但长的串就需要借助程序了，具体算法刚接触的时候确实不容易理解，但给我的体验，把上面的内容写完，现在感觉简简单单了…先附上程序再做解释，(终于到了传说中的整整5行代码让我整理了一下午)。

int GetNext(char ch[],int cLen,int next[]){
    //cLen为串ch的长度
    next[1] = 0;
    int i = 1,j = 0;
    while(i<=cLen){
    
        if(j==0||ch[i]==ch[j]) next[++i] = ++j;
        else j = next[j];
    }
}

• 还是先由一般再推优化：
  直接求next[j+1]（至于为什么是j+1，是为了和下面的对应）
  根据之前的分析，next[j+1]的值为p_j+1的前j个元素的收尾重合的最大个数加一。即需要满足两个条件，把它的值一步步“检验”出来。一是“个数最多”的，因此要从可能的最大值开始验；二是“首尾重合”，因此要一一对应验是否相等。
  不难理解，next[j+1]的最大值为j，所有我们从next[j+1]=j开始“验证”。有以下优先判断顺序：
  if(P₁…P_j-1 == P₂…P_j) => next[j+1]=j
  else if(P₁…P_j-2 == P₃…P_j) =>next[j+1]=j-1
  else if(P₁…P_j-3 == P₄…P_j) =>next[j+1]=j-2
  …
  …
  …
  else if(P₁P₂ == P_j-1P_j) => next[j+1]=3
  else if(P₁ == P_j-1) => next[j+1]=2
  else if(P₁ != P_j-1) => next[j+1]=1
  每次前去尾1个，后掐头1个，直至得到next[j+1]

• 再进一步想，next值是一个“工具”，我们单独的求next[j+1]是完全没有意义的，就是说要求next就要把所有j的next求出来。所有一般的，我们都是已知前j个元素的next值，求next[j+1]，以此递推下去，求完整的next数组。
  但是，上面的思考过程还是最根本的。所以问题变为两个：知道前j个元素的next的情况下，
  ①next[j+1]的可能的最大值是多少（即从哪开始验证）
  ②某一步验证失败后，需要“前去尾几个，后掐头几个？”（即本次验证失败后，再验证哪个值）
  看一下的分析：

1、next[j+1]的最大值为next[j]+1。
因为：
假设next[j]=k1，则可以说明P₁…P_k1-1=P_j-k1+1…P_j-1，且这是前j个元素最大的首尾重合序列。
如果P_k1=P_j，那么P₁…P_k1-1P_K=P_j-k1+1…P_j-1P_j，那么k+1这也是前j+1个元素的最大首尾重合序列，也即next[j+1]的值为k1+1
2、如果P_k1≠P_j，那么next[j+1]可能的次大值为next[next[j]]+1，以此类推即可高效求出next[j+1]
这里不好解释，直接看下面的流程分析及图解

开——始——划——重——点！
从头走一遍流程
①求next[j+1]，设值为m
②已知next[j]=k1，则有P₁…P_k1-1 = P_j-k1+1…P_j-1
③如果P_k1=P_j，则P₁…P_k1-1P_K = P_j-k1+1…P_j-1P_j，则next[j+1]=k1+1，否则
④已知next[k1]=k2，则有P₁…P_k2-1 = P_k1-k2+1…P_k1-1
⑤第二第三步联合得到:
P₁…P_k2-1 = P_k1-k2+1…P_k1-1 = P_j-k1+1…P_k2-k1+j-1 = P_j-k2+1…P_j-1 即四段重合
⑥这时候，再判断如果P_k2=P_j，则P₁…P_k2-1P~k2 = P_j-k2+1…P_j-1P_j，则next[j+1]=k2+1；否则再取next[k2]=k3…以此类推

上面几步，耐心看下来，结合那个式子很容易看懂。最后，再加一个图的模拟帮助理解：
1、要求next[k+1] 其中k+1=17

2、已知next[16]=8，则元素有以下关系：

3、如果P₈=P₁₆，则明显next[17]=8+1=9
4、如果不相等，又若next[8]=4，则有以下关系

又加上2的条件知

主要是为了证明：

5、现在在判断，如果P₁₆=P₄则next[17]=4+1=5，否则，在继续递推
6、若next[4]=2，则有以下关系

7、若P₁₆=P₂，则next[17]=2+1=3;否则继续取next[2]=1、next[1]=0；遇到0时还没出结果，则递推结束，此时next[17]=1。最后，再返回看那5行算法，应该很容易明白了！