• 标签：递归 | 数学

题目

社团共有 num 位成员参与破冰游戏，编号为 0 ~ num-1。成员们按照编号顺序围绕圆桌而坐。社长抽取一个数字 target，
从 0 号成员起开始计数，排在第 target 位的成员离开圆桌，且成员离开后从下一个成员开始计数。
请返回游戏结束时最后一位成员的编号。

示例 1：

输入：num = 7, target = 4
输出：1
示例 2：

输入：num = 12, target = 5
输出：0
提示：

1 <= num <= 10^5
1 <= target <= 10^6

原题：LeetCode LCR187

思路及实现

约瑟夫问题：

这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。
—— 【约瑟夫问题】

详见：约瑟夫问题

方式一：迭代模拟（用链表模拟这个游戏）

思路

这是经典的约瑟夫问题（Josephus Problem）。我们可以模拟这个过程，使用一个列表来存储成员编号，每次计数到 target 时，将当前成员移除列表，然后计数到下一个成员。重复此过程，直到列表里只剩下一个成员，返回该成员的编号。

代码实现

Java版本

public int lastRemaining(int num, int target) {
    
    List<Integer> members = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < num; i++) {
    
        members.add(i);
    }
    int index = 0;
    while (num > 1) {
    
        index = (index + target - 1) % num; // 减1因为从0开始计数，取余是因为是圆桌
        members.remove(index);
        num--;
    }
    return members.get(0);
}

说明：
迭代地模拟成员被移出的过程，index 表示每次需要移除成员的位置。

C语言版本

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int lastRemaining(int num, int target) {
    
    // 创建一个动态数组来模拟成员围坐一圈的情况
    int *members = (int *)malloc(num * sizeof(int));
    
    // 初始化成员编号
    for (int i = 0; i < num; i++) {
    
        members[i] = i;
    }

    int current = 0; // 当前计数开始的位置
    int remaining = num; // 剩余成员数

    while (remaining > 1) {
    
        // 计算要移除成员的索引位置
        int removeIndex = (current + target - 1) % remaining;
        
        // 从数组中移除成员
        for (int j = removeIndex; j < remaining - 1; j++) {
    
            members[j] = members[j + 1];
        }

        // 更新当前计数开始的位置
        current = removeIndex % (remaining - 1);
        
        // 更新剩余成员数
        remaining--;
    }

    // 记录最后剩下的成员编号
    int lastMember = members[0];
    
    // 释放动态数组所占用的内存
    free(members);
    
    return lastMember;
}

// 测试程序
int main() {
    
    int num = 7, target = 4;
    printf("The last remaining member is: %d\n", lastRemaining(num, target));
    return 0;
}

说明：
代码实现了迭代模拟方式来解决约瑟夫环问题。首先初始化成员编号，然后根据游戏规则逐一模拟计数与成员被移除的过程。注意，由于成员编号是从0开始，所以移除成员的索引位置需要进行 target - 1 处理。每次有成员移除后，都需要更新计数的起始位置以及剩余的成员数量。最终剩下的成员的编号即为所求。
此外，代码还处理了动态分配内存的释放，以避免内存泄漏问题。

Python3版本

def last_remaining(num, target):
    members = list(range(num))
    index = 0
    while num > 1:
        index = (index + target - 1) % num # 减1因为从0开始计数，取余是因为是圆桌
        members.pop(index)
        num -= 1
    return members[0]

说明：
Python版本的实现思路与Java版本相同，使用列表和迭代的方式模拟约瑟夫环的过程。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(num^2)，因为每次删除操作都需要 O(num) 的时间
• 空间复杂度：O(num)，存储成员编号需要的空间

方式二：数学+迭代

思路

在约瑟夫问题中，可以找到递归的关系f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n，其中f(n, m)表示第n轮中以m开始计数的最后胜利者的位置。

代码实现

Java版本

public int lastRemaining(int num, int target) {
    
    int res = 0; // num=1时最后剩下的成员编号
    for (int i = 2; i <= num; i++) {
    
        res = (res + target) % i;
    }
    return res;
}

说明：
基于递归关系迭代地求解最后剩下成员的编号，避免了昂贵的数组删除操作。

C语言版本

#include <stdio.h>

int lastRemaining(int num, int target) {
    
    int res = 0; // 最开始，编号为0的成员肯定会留下
    // 从第二位成员开始迭代，直到num位成员
    for(int i = 2; i <= num; i++) {
    
        res = (res + target) % i;
    }
    return res;
}

int main() {
    
    int num = 7, target = 4;
    printf("The last remaining member is: %d\n", lastRemaining(num, target));
    return 0;
}

说明
从1计数到 num，代表每一轮的成员数。在每轮计算中，
res 的值为上一轮中剩下成员的位置，将其与 target 相加后对当前轮的成员数取余数，得到新一轮中剩余成员的位置。
最后返回 res，即为最后剩下成员的编号。

Python3版本

def last_remaining(num, target):
    res = 0  # num=1时最后剩下的成员编号
    for i in range(2, num + 1):
        res = (res + target) % i
    return res

说明：
利用递归关系进行迭代求解

复杂度分析

• 时间复杂度：O(num)，只需迭代 num-1 次
• 空间复杂度：O(1)，仅需常数个变量存储中间结果

方式三：递归

思路

约瑟夫问题还可以采用递归的思路来解决。对于 num 个人的情况，如果我们知道了 num-1 个人的情况下的胜利者的索引，那么我们可以通过递归关系得到 num 个人时的最终胜利者。
递归关系如下：

f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n

其中 f(1, m) = 0，f(n, m) 表示总数为 n，计数为 m的情况下最后胜利者的索引。

代码实现

Java版本

public int lastRemaining(int num, int target) {
    
    return lastRemainingRec(num, target);
}

private int lastRemainingRec(int num, int target) {
    
    if (num == 1) {
    
        // 只有一个成员时，他肯定是胜利者
        return 0;
    } else {
    
        // 递归计算 num-1 个成员时的胜利者的索引，并应用递归关系
        return (lastRemainingRec(num - 1, target) + target) % num;
    }
}

说明：递归在每次调用中计算 num-1 的情况，并将结果使用到 num 个成员的情况。

C语言版本

#include <stdio.h>

int lastRemainingRec(int num, int target) {
    
    if (num == 1) {
    
        // 只有一个成员时，他肯定是胜利者
        return 0;
    } else {
    
        // 递归计算 num-1 个成员时的胜利者的索引，并应用递归关系
        return (lastRemainingRec(num - 1, target) + target) % num;
    }
}

int lastRemaining(int num, int target) {
    
    return lastRemainingRec(num, target);
}

int main() {
    
    int num = 7, target = 4;
    printf("The last remaining member is: %d\n", lastRemaining(num, target));
    return 0;
}

说明：采用递归方式，递归的边界情况是只剩一个成员时，其编号为0。非边界情况使用递归函数计算。

Python3版本

def last_remaining_rec(num, target):
    if num == 1:
        # 只有一个成员时，他肯定是胜利者
        return 0
    else:
        # 递归计算 num-1 个成员时的胜利者的索引，并应用递归关系
        return (last_remaining_rec(num - 1, target) + target) % num

def last_remaining(num, target):
    return last_remaining_rec(num, target)

# 示例
print(last_remaining(7, 4))  # 输出: 1
print(last_remaining(12, 5)) # 输出: 0

说明：Python 版本的实现中同样使用递归，直观地展示了解法的递归逻辑结构。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(num)，因为递归函数将被调用 num 次。
• 空间复杂度：O(num)，递归需要使用栈空间，其大小取决于递归的深度，最大为 num。

总结

方式	描述	优点	缺点	时间复杂度	空间复杂度
迭代模拟	直接根据规则模拟整个游戏过程，依次淘汰成员	直观和易理解	当成员数目较大时，效率较低	O(num^2)	O(num)
数学+迭代	通过数学公式递推最终结果，逐步缩小问题规模	时间效率高，不需要昂贵的删除操作	需要数学知识，公式推导可能不够直观	O(num)	O(1)
递归	通过递归函数，从基础情况逐步返回最终答案	代码简洁，易编写	栈空间开销大，可能会栈溢出	O(num)	O(num)
迭代改进	递归方法的迭代版本，避免了栈溢出的问题	避免了递归引起的栈溢出	相对于直接递归，可能理解起来稍微复杂	O(num)	O(1)

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