技术标签: 算法
题目描述:
给一个浮点数序列,取最大乘积连续子串的值,例如 -2.5,4,0,3,0.5,8,-1,则取出的最大乘积连续子串为3,0.5,8。也就是说,上述数组中,3 0.5 8这3个数的乘积3*0.5*8=12是最大的,而且是连续的。
提醒:此最大乘积连续子串与最大乘积子序列不同,请勿混淆,前者子串要求连续,后者子序列不要求连续。也就是说:最长公共子串(Longest CommonSubstring)和最长公共子序列(LongestCommon Subsequence,LCS)的区别:
更简略地说,前者(子串)的字符的位置必须连续,后者(子序列LCS)则不必。比如字符串“ acdfg ”同“ akdfc ”的最长公共子串为“ df ”,而它们的最长公共子序列LCS是“ adf ”,LCS可以使用动态规划法解决。
解答:
解法一、 穷举,所有的计算组合:
或许,读者初看此题,自然会想到最大乘积子序列问题类似于最大子数组和问题,可能立马会想到用最简单粗暴的方式:两个for循环直接轮询。
double max = 0;
double start = 0;
double end = 0;
for (int i = 0; i < num; i++)
{
double x = arrs[i];
for (int j = i + 1; j < num; j++)
{
x *= arrs[j];
if (x > max)
{
max = x;
start = arrs[i];
end = arrs[j];
}
}
}
解法二、 虽说类似于最大子数组和问题,但实际上具体处理起来诸多不同。为什么呢,因为乘积子序列中有正有负也还可能有0。我们可以把问题简化成这样:数组中找一个子序列,使得它的乘积最大;同时找一个子序列,使得它的乘积最小(负数的情况)。因为虽然我们只要一个最大积,但由于负数的存在,我们同时找这两个乘积做起来反而方便。也就是说,不但记录最大乘积,也要记录最小乘积。So,我们让
由于空集的乘积定义为1,在搜索数组前,maxCurrent,minCurrent,maxProduct都赋为1。 假设在任何时刻你已经有了maxCurrent和minCurrent这两个最大/最小乘积的candidates,新读入数组的元素x(i)后,新的最大乘积candidate只可能是maxCurrent或者minCurrent与x(i)的乘积中的较大者,如果x(i) < 0导致maxCurrent < minCurrent,需要交换这两个candidates的值。
当任何时候maxCurrent<1,由于1(空集)是比maxCurrent更好的candidate,所以更新maxCurrent为1,类似的可以更新minCurrent。任何时候maxCurrent如果比最好的maxProduct大,更新maxProduct。
代码一:
template <typename Comparable>
Comparable maxprod( const vector<Comparable>&v)
{
int i;
Comparable maxProduct = 1;
Comparable minProduct = 1;
Comparable maxCurrent = 1;
Comparable minCurrent = 1;
//Comparable t;
for ( i = 0; i < v.size() ; i++)
{
maxCurrent *= v[i];
minCurrent *= v[i];
if (maxCurrent > maxProduct)
maxProduct = maxCurrent;
if (minCurrent > maxProduct)
maxProduct = minCurrent;
if (maxCurrent < minProduct)
minProduct = maxCurrent;
if (minCurrent < minProduct)
minProduct = minCurrent;
if (minCurrent > maxCurrent)
swap(maxCurrent, minCurrent);
if (maxCurrent < 1)
maxCurrent = 1;
//if(minCurrent>1)
// minCurrent =1;
}
return maxProduct;
}
解法三、 本题除了上述类似最大子数组和的解法,也可以直接用动态规划求解(其实,上述的解法一本质上也是动态规划,只是解题所表现出来的具体形式与接下来的解法二不同罢了。这个不同就在于下面的解法二会写出动态规划问题中经典常见的DP方程,而解法一是直接求解)。具体解法如下:
假设数组为a[],直接利用动归来求解,考虑到可能存在负数的情况,我们用Max来表示以a结尾的最大连续子串的乘积值,用Min表示以a结尾的最小的子串的乘积值,那么状态转移方程为:
Max=max{a, Max[i-1]*a, Min[i-1]*a};
Min=min{a, Max[i-1]*a, Min[i-1]*a};
初始状态为Max[1]=Min[1]=a[1]。
C/C++代码一:
double func(double *a, const int n)
{
double *maxA = new double[n];
double *minA = new double[n];
maxA[0] = minA[0] = a[0];
double value = maxA[0];
for (int i = 1 ; i < n ; ++i)
{
maxA[i] = max(max(a[i], maxA[i - 1] * a[i]), minA[i - 1] * a[i]);
minA[i] = min(min(a[i], maxA[i - 1] * a[i]), minA[i - 1] * a[i]);
value = max(value, maxA[i]);
}
return value;
}
C/C++代码二:
/*
给定一个浮点数数组,有正有负数,0,正数组成,数组下标从1算起
求最大连续子序列乘积,并输出这个序列,如果最大子序列乘积为负数,那么就输出-1
用Max[i]表示以a[i]结尾乘积最大的连续子序列
用Min[i]表示以a[i]结尾乘积最小的连续子序列 因为有复数,所以保存这个是必须的
*/
void longest_multiple(double *a, int n)
{
double *Min = new double[n + 1]();
double *Max = new double[n + 1]();
double *p = new double[n + 1]();
//初始化
for (int i = 0; i <= n; i++)
{
p[i] = -1;
}
Min[1] = a[1];
Max[1] = a[1];
double max_val = Max[1];
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
Max[i] = max(Max[i - 1] * a[i], Min[i - 1] * a[i], a[i]);
Min[i] = min(Max[i - 1] * a[i], Min[i - 1] * a[i], a[i]);
if (max_val < Max[i])
max_val = Max[i];
}
if (max_val < 0)
printf("%d", -1);
else
printf("%d", max_val);
//内存释放
delete [] Max;
delete [] Min;
}
变种
此外,此题还有另外的一个变种形式,即给定一个长度为N的整数数组,只允许用乘法,不能用除法,计算任意(N-1)个数的组合中乘积最大的一组,并写出算法的时间复杂度。
我们可以把所有可能的(N-1)个数的组合找出来,分别计算它们的乘积,并比较大小。由于总共有N个(N-1)个数的组合,总的时间复杂度为O(N2),显然这不是最好的解法。
OK,以下解答来自编程之美
解法1
解法2、
此外,还可以通过分析,进一步减少解答问题的计算量。假设N个整数的乘积为P,针对P的正负性进行如下分析(其中,AN-1表示N-1个数的组合,PN-1表示N-1个数的组合的乘积)。
那么,数组中至少包含有一个0。假设除去一个0之外,其他N-1个数的乘积为Q,根据Q的正负性进行讨论:
Q为0
说明数组中至少有两个0,那么N-1个数的乘积只能为0,返回0;
Q为正数
返回Q,因为如果以0替换此时AN-1中的任一个数,所得到的PN-1为0,必然小于Q;
Q为负数
如果以0替换此时AN-1中的任一个数,所得到的PN-1为0,大于Q,乘积最大值为0。
根据“负负得正”的乘法性质,自然想到从N个整数中去掉一个负数,使得PN-1为一个正数。而要使这个正数最大,这个被去掉的负数的绝对值必须是数组中最小的。我们只需要扫描一遍数组,把绝对值最小的负数给去掉就可以了。
类似地,如果数组中存在正数值,那么应该去掉最小的正数值,否则去掉绝对值最大的负数值。
上面的解法采用了直接求N个整数的乘积P,进而判断P的正负性的办法,但是直接求乘积在编译环境下往往会有溢出的危险(这也就是本题要求不使用除法的潜在用意),事实上可做一个小的转变,不需要直接求乘积,而是求出数组中正数(+)、负数(-)和0的个数,从而判断P的正负性,其余部分与以上面的解法相同。
在时间复杂度方面,由于只需要遍历数组一次,在遍历数组的同时就可得到数组中正数(+)、负数(-)和0的个数,以及数组中绝对值最小的正数和负数,时间复杂度为O(N)。
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