技术标签: 算法 python 向后Euler # 计算方法与科学建模 欧拉方法 开发语言
常微分方程初值问题的数值积分法是一种通过数值方法求解给定初始条件下的常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODEs)的问题。
确定微分方程:
确定初始条件:
选择数值方法:
离散化定义域:
数值迭代:
判断停止条件:
输出结果:
欧拉方法(Euler Method):
改进的欧拉方法(Improved Euler Method 或梯形法 Trapezoidal Rule):
Runge-Kutta 方法:
这些方法中,步长 h h h 是一个关键参数,它决定了离散化的程度,选择合适的步长对于数值解的准确性和稳定性非常重要。
【计算方法与科学建模】常微分方程初值问题的数值积分法:欧拉方法(向前Euler及其python实现)
向后 Euler 方法的核心思想是从微分方程的 y ′ ( X n + 1 ) = f ( x n + 1 , y ( X n + 1 ) ) y'(X_{n+1}) = f(x_{n+1}, y(X_{n+1})) y′(Xn+1)=f(xn+1,y(Xn+1)) 出发,使用向后差商 y ( X n + 1 ) − y ( X n ) h \frac{y(X_{n+1}) - y(X_n)}{h} hy(Xn+1)−y(Xn) 近似微商 y ′ ( X n + 1 ) y'(X_{n+1}) y′(Xn+1),然后通过这个近似来得到递推公式。具体而言,递推公式为:
y n + 1 = y n + h f ( X n + 1 , y n + 1 ) , n = 0 , 1 , … y_{n+1} = y_n + hf(X_{n+1}, y_{n+1}), \quad n = 0, 1, \ldots \ yn+1=yn+hf(Xn+1,yn+1),n=0,1,…
这里, y n + 1 y_{n+1} yn+1 是在 X n + 1 X_{n+1} Xn+1 处的近似解, h h h 是步长。
对比向前 Euler 方法和向后 Euler 方法,可以注意到两者的关键区别:
显式 vs. 隐式:
求解方式:
具体的迭代过程:
初始值:使用向前 Euler 公式给出一个初值,例如 y n + 1 ( 0 ) = y n + h f ( x n + 1 , y n ) y_{n+1}^{(0)} = y_n + hf(x_{n+1}, y_n) yn+1(0)=yn+hf(xn+1,yn),其中 y n + 1 ( 0 ) y_{n+1}^{(0)} yn+1(0) 是迭代的初值。
迭代公式:使用迭代公式 y n + 1 ( k + 1 ) = y n + h f ( x n + 1 , y n + 1 ( k ) ) , k = 0 , 1 , … y_{n+1}^{(k+1)} = y_n + hf(x_{n+1}, y_{n+1}^{(k)}), \quad k = 0, 1, \ldots yn+1(k+1)=yn+hf(xn+1,yn+1(k)),k=0,1,…计算 y n + 1 y_{n+1} yn+1 的逼近值。
重复迭代,直到满足收敛条件,得到 y n + 1 y_{n+1} yn+1 的近似解。
向后 Euler 方法在处理某些问题(例如刚性问题)时可能更为稳定,但由于涉及隐式方程的求解,其计算成本可能较高。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fsolve
def forward_euler(f, y0, a, b, h):
"""
使用向前欧拉法求解一阶常微分方程初值问题
Parameters:
- f: 函数,表示微分方程的右侧项,形式为 f(x, y)
- y0: 初始条件,表示在 x=a 处的函数值
- a: 区间起点
- b: 区间终点
- h: 步长
Returns:
- x_values: 区间 [a, b] 上的离散节点
- y_values: 对应节点上的函数值的近似解
"""
num_steps = int((b - a) / h) + 1 # 计算步数
x_values = np.linspace(a, b, num_steps) # 生成离散节点
y_values = np.zeros(num_steps) # 初始化结果数组
y_values[0] = y0 # 设置初始条件
# 使用向前欧拉法进行逐步迭代
for i in range(1, num_steps):
x = x_values[i - 1]
y = y_values[i - 1]
y_values[i] = y + h * f(x, y)
return x_values, y_values
def backward_euler(f, y0, a, b, h):
"""
使用向后欧拉法求解一阶常微分方程初值问题
Parameters:
- f: 函数,表示微分方程的右侧项,形式为 f(x, y)
- y0: 初始条件,表示在 x=a 处的函数值
- a: 区间起点
- b: 区间终点
- h: 步长
Returns:
- x_values: 区间 [a, b] 上的离散节点
- y_values: 对应节点上的函数值的近似解
"""
num_steps = int((b - a) / h) + 1 # 计算步数
x_values = np.linspace(a, b, num_steps) # 生成离散节点
y_values = np.zeros(num_steps) # 初始化结果数组
y_values[0] = y0 # 设置初始条件
# 使用向后欧拉法进行逐步迭代
for i in range(1, num_steps):
x = x_values[i]
# 定义非线性方程
equation = lambda y_next: y_next - y_values[i - 1] - h * f(x, y_next)
# 利用 fsolve 求解非线性方程,得到 y_values[i]
y_values[i] = fsolve(equation, y_values[i - 1])[0]
return x_values, y_values
# 示例:求解 y' = y -2x/y,初始条件 y(0) = 1 在区间 [0, 1] 上的近似解
def example_function(x, y):
return y - 2 * x / y
a, b = 0, 1 # 区间 [a, b]
y0 = 1 # 初始条件 y(0) = 1
h = 0.05 # 步长
x_values0, y_values0 = forward_euler(example_function, y0, a, b, h)
x_values, y_values = backward_euler(example_function, y0, a, b, h)
# 绘制结果
plt.plot(x_values0, y_values0, label='Forward Euler')
plt.plot(x_values, np.sqrt(1 + 2 * x_values), label='Exact Solution')
plt.plot(x_values, y_values, label='Backward Euler')
plt.title('h = {}'.format(h))
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()
h = 0.1
h = 0.05
h = 0.02
文章浏览阅读2w次,点赞7次,收藏51次。四个步骤1.创建C++ Win32项目动态库dll 2.在Win32项目动态库中添加 外部依赖项 lib头文件和lib库3.导出C接口4.c#调用c++动态库开始你的表演...①创建一个空白的解决方案,在解决方案中添加 Visual C++ , Win32 项目空白解决方案的创建:添加Visual C++ , Win32 项目这......_c#调用lib
文章浏览阅读4.6k次。苹方字体是苹果系统上的黑体,挺好看的。注重颜值的网站都会使用,例如知乎:font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, Helvetica Neue, PingFang SC, Microsoft YaHei, Source Han Sans SC, Noto Sans CJK SC, W..._ubuntu pingfang
文章浏览阅读159次。表单表单概述表单标签表单域按钮控件demo表单标签表单标签基本语法结构<form action="处理数据程序的url地址“ method=”get|post“ name="表单名称”></form><!--action,当提交表单时,向何处发送表单中的数据,地址可以是相对地址也可以是绝对地址--><!--method将表单中的数据传送给服务器处理,get方式直接显示在url地址中,数据可以被缓存,且长度有限制;而post方式数据隐藏传输,_html表单的处理程序有那些
文章浏览阅读1.2k次。使用说明:开启Google的登陆二步验证(即Google Authenticator服务)后用户登陆时需要输入额外由手机客户端生成的一次性密码。实现Google Authenticator功能需要服务器端和客户端的支持。服务器端负责密钥的生成、验证一次性密码是否正确。客户端记录密钥后生成一次性密码。下载谷歌验证类库文件放到项目合适位置(我这边放在项目Vender下面)https://github.com/PHPGangsta/GoogleAuthenticatorPHP代码示例://引入谷_php otp 验证器
文章浏览阅读4.3k次,点赞5次,收藏11次。matplotlib.plot画图横坐标混乱及间隔处理_matplotlib更改横轴间距
文章浏览阅读2.2k次。①Storage driver 处理各镜像层及容器层的处理细节,实现了多层数据的堆叠,为用户 提供了多层数据合并后的统一视图②所有 Storage driver 都使用可堆叠图像层和写时复制(CoW)策略③docker info 命令可查看当系统上的 storage driver主要用于测试目的,不建议用于生成环境。_docker 保存容器
文章浏览阅读834次,点赞27次,收藏13次。网络拓扑结构是指计算机网络中各组件(如计算机、服务器、打印机、路由器、交换机等设备)及其连接线路在物理布局或逻辑构型上的排列形式。这种布局不仅描述了设备间的实际物理连接方式,也决定了数据在网络中流动的路径和方式。不同的网络拓扑结构影响着网络的性能、可靠性、可扩展性及管理维护的难易程度。_网络拓扑csdn
文章浏览阅读1.8k次,点赞5次,收藏8次。IOS系统Date的坑要创建一个指定时间的new Date对象时,通常的做法是:new Date("2020-09-21 11:11:00")这行代码在 PC 端和安卓端都是正常的,而在 iOS 端则会提示 Invalid Date 无效日期。在IOS年月日中间的横岗许换成斜杠,也就是new Date("2020/09/21 11:11:00")通常为了兼容IOS的这个坑,需要做一些额外的特殊处理,笔者在开发的时候经常会忘了兼容IOS系统。所以就想试着重写Date函数,一劳永逸,避免每次ne_date.prototype 将所有 ios
文章浏览阅读5.3k次。方法一:用PLSQL Developer工具。 1 在PLSQL Developer的sql window里输入select * from test for update; 2 按F8执行 3 打开锁, 再按一下加号. 鼠标点到第一列的列头,使全列成选中状态,然后粘贴,最后commit提交即可。(前提..._excel导入pl/sql
文章浏览阅读83次。Git常用命令速查手册1、初始化仓库git init2、将文件添加到仓库git add 文件名 # 将工作区的某个文件添加到暂存区 git add -u # 添加所有被tracked文件中被修改或删除的文件信息到暂存区,不处理untracked的文件git add -A # 添加所有被tracked文件中被修改或删除的文件信息到暂存区,包括untracked的文件...
文章浏览阅读202次。分享119个ASP.NET源码总有一个是你想要的_千博二手车源码v2023 build 1120
文章浏览阅读1.8k次。版权声明:转载请注明出处 http://blog.csdn.net/irean_lau。目录(?)[+]1、缺省构造函数。2、缺省拷贝构造函数。3、 缺省析构函数。4、缺省赋值运算符。5、缺省取址运算符。6、 缺省取址运算符 const。[cpp] view plain copy_空类默认产生哪些类成员函数