一、概述

脉冲压缩：
是一种频谱扩展方法，用于最小化峰值功率、最大化信噪比、获得高分辨率目标。

因早期脉冲雷达发射简单矩形脉冲信号，其信号能量：
$$E=P_{t}T$$$P_t$ 为脉冲功率，$T$ 为脉冲宽度。

当需要增大雷达的最大探测距离 $R$ 时，就需要增大信号能量 $E$，而由于发射管峰值功率受限，可以通过增加脉冲宽度提高信号能量。同时，简单矩形脉冲的时宽带宽积近似为1（$BT\approx 1$），则因为雷达距离分辨率：
$$\Delta R=\frac{1}{2}cT=\frac{1}{2B}c$$
$T$ 的增大导致了$\Delta R$ 的增大，即距离分辨率减小。因此二者产生了矛盾，需要采用时宽带宽积远大于1的复杂信号。本文通过匹配滤波实现脉冲压缩。

线性调频信号：
线性调频信号（Linear Frequency Signal, LFM）在SAR（乃至所有雷达）系统中非常重要，其最主要的特征是瞬时频率是时间的线性函数。这种信号用于发射以得到均匀的信号带宽。

二、线性调频信号

线性调频信号（LFM）是应用最广泛的一种脉冲压缩信号。这种信号的突出优点是匹配滤波器对回波信号的多普勒频移不敏感，仍能起到脉冲压缩的作用。
功率归一的线性调频脉冲的复信号表达式可写为：
s ( t ) = u ( t ) e x p { j 2 π f 0 t } = 1 T r e c t ( t T ) e x p { j ( 2 π f 0 + π K t 2 ) } s(t)=u(t)exp\{j2\pi f_0t \}=\frac{1}{\sqrt{T} }rect(\frac{t}{T})exp\{j(2\pi f_0+\pi Kt^2)\} s(t)=u(t)exp{ j2πf0​t}=T ​1​rect(Tt​)exp{ j(2πf0​+πKt2)}
其中，$T$ 为脉冲宽度；$K=B/T$ 为调频斜率，$B$为调频带宽。信号的复包络为：
u ( t ) = 1 T r e c t ( t T ) e x p { j π K t 2 } , r e c t ( t T ) = { 1 , ∣ t ∣ ≤ T / 2 0 , ∣ t ∣ > T / 2 u(t)=\frac{1}{\sqrt{T} }rect(\frac{t}{T})exp\{j\pi Kt^2\}, rect(\frac{t}{T})=\left\{\begin{matrix} 1,&\left | t \right |\le T/2 \\ 0,&\left | t \right |> T/2 \end{matrix}\right. u(t)=T ​1​rect(Tt​)exp{ jπKt2},rect(Tt​)={ 1,0,​∣t∣≤T/2∣t∣>T/2​
信号的瞬时频率为：
$$f_i(t)=f_0+Kt$$
线性调频信号的优点：
（1）当目标距离已知时，可以有很高的测速精度；当目标速度已知时，可以有很高的测距精度。
（2）在多目标环境中，当目标速度相同时，可以有很高的距离分辨率；当目标距离相同时，可以有很高的速度分辨率。
（3）多普勒不敏感。尽管多普勒频率可能会导致脉压的距离发生位移，但是不影响脉压处理。
（4）产生简单，工程实现方便。

三、脉冲压缩

通过匹配滤波将发射的宽脉冲信号压缩成窄脉冲信号，提高距离分辨率的同时，获得了快时间域的波形增益。现代雷达几乎都是在数字域进行脉压处理，脉冲压缩本身就是实现信号的匹配滤波，只是在模拟域一般称为匹配滤波，而在数字域称为脉冲压缩。
匹配滤波（matched filtering）：
是白噪声环境最大信噪比准则下的最优滤波。
匹配滤波器（match filter）：
是当输入端出现信号与加性白噪声时，使其输出信噪比最大的滤波器，也就是一个与输入信号相匹配的最佳滤波器。此噪声不必是高斯的。针对接收机而言，匹配滤波器是指接收机的频率特性与发射信号的频谱特性相匹配。利用施瓦兹（Schwarz）不等式，得到使输出信噪比SNR达到最大的条件，最终推导出匹配滤波器的方程（详细推导见《雷达原理与系统P95-97》）：

$$\{\begin{array}{c}H(\omega )=S^{\ast }(\omega )\\ h(t)=s^{\ast }(-t)\end{array}$$

四、线性调频信号的脉冲压缩

实现方式：

MATLAB产生LFM信号：

Te = 2e-4;                       % 脉冲宽度200微秒
Bm = 1e6;                        % 带宽1MHz
K= Bm/Te;                        % 调频斜率

Fs = 2e6;                        % 采样频率2MHz
N = round(Te*Fs);                % 采样点数，并四舍五入
t = linspace(-Te/2,Te/2,N);

s = exp(i*K*pi*t.^2);            % 线性调频（LFM）信号
r=pi*K*(t.^2);                   % 相位
f=K*t                            % 瞬时频率

s_fft=fftshift(fft(s));          % 傅里叶变换
f=linspace(0,Fs,length(t))-Fs/2;

figure
plot(f,abs(s_fft));          
xlabel("频率");ylabel("幅度");
title("LFM频域图");
grid on;

figure
subplot(2,2,1)
plot(t,real(s)); grid on;          
title('信号实部');
xlabel('t/s');ylabel('幅度');
%axis([-5e-5 5e-5 -1 1])    
subplot(2,2,2)
plot(t,imag(s));grid on;         
title('信号虚部');
xlabel('t/s');ylabel('幅度');
%axis([-5e-5 5e-5 -1 1])   
subplot(2,2,3)
plot(t,r); grid on;             
title('相位');
xlabel('t/s');ylabel('rad');
subplot(2,2,4)
plot(t,f); grid on;             
title('频率');
xlabel('t/s');ylabel('Hz');

MATLAB对LFM信号脉冲压缩：
现代雷达的脉冲压缩处理均采用数字信号处理的方式，实现方法有两种：当脉压比不太大时，经常采用时域相关的处理方式；当脉压较大时，通常利用FFT在频域实现。工程中若采用FPGA实现脉压，大多采用时域脉压处理，对接收信号通过流水的方式进行。
实际中为降低旁瓣，脉冲压缩时需要加窗函数，也就是将匹配滤波器系数 $h(n)$ 与窗函数时域 $\omega (n)$ 相乘（时域加窗），即 $h_w(n)=h(n)\odot \omega (n)$，或频域加窗：
H w ( f ) = F F T { h ( n ) ⊙ ω ( n ) } H_w(f)=FFT\{h(n) \odot \omega(n)\} Hw​(f)=FFT{ h(n)⊙ω(n)}

Te = 2e-4;                                  % 脉冲宽度200微秒
Bm = 1e6;                                   % 带宽1MHz
K= Bm/Te;                                   % 调频斜率
Fs = 2e6;                                   % 采样频率2MHz
N = round(Te*Fs);                           % 采样点数，并四舍五入
t = linspace(-Te/2,Te/2,N);
s = exp(1i*K*pi*t.^2);                      % 线性调频（LFM）信号
r=pi*K*(t.^2);                              % 相位
f=K*t;                                      % 瞬时频率
c=3e8;                                      % 光速

R0=[50e3,82e3,10e4];                        % 目标的距离
Rmin=20e3;                                  % 采样的最小距离
Rrec=150e3;                                 % 接收距离窗的大小
Vr=[3,9,12];                                % 目标的速度
SNR=[20,15,10];                             % 目标信噪比
bos=2*pi/0.03;                              % 波数
NR0=ceil(log2((2*Rrec/c)*Fs));
NR1=2^NR0;
game=(1+2*Vr./c).^2;

sp=(0.707*(randn(1,NR1)+1j*randn(1,NR1)));  %生成高斯白噪声
for k=1:length(R0)
    NR=fix((2*(R0(k)-Rmin)/c)*Fs);
    spt=(10^(SNR(k)/20))*exp(-1j*bos*R0(k))*exp(1j*pi*K*game(k)*t.^2); % 雷达回波
    sp(NR:NR+N-1)=sp(NR:NR+N-1)+spt;
end
spf=fft(sp,NR1);
s_fft=fft(s,NR1);
y=abs(ifft(spf.*conj(s_fft),NR1)/NR0);      %实现频域脉压
figure;
plot(real(sp));grid; 
title('脉压输入信号');
figure;
plot(real(y));grid;
title('脉压输出结果');
figure;
plot(real(spt));grid;
title('回波信号复包络实部');