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一、Armstrong公理系统设关系模式R<U,F>,其中U为属性集,F是U上的一组函数依赖,那么有如下推理规则:
根据上面三条推理规则,又可推出下面三条推理规则:
引理:X→A1A2…Ak成立的充分必要条件是X→Ai成立(i=1,2,…,k)。
二、Armstrong公理系统的证明
A1自反律:若Y X U,则X→Y为F所蕴含
证明1
设Y⊆X⊆U。
对R<U,F>的任一关系r中的任意两个元组t,s:
若t[X]=s[X],由于Y X,则有t[Y]=s[Y],所以X→Y成立,自反律得证。
A2增广律:若X→Y为F所蕴含,且Z U,则XZ→YZ为F所蕴含
证明2
设X→Y为F所蕴含,且Z⊆U。
对R<U,F>的任一关系r中的任意两个元组t,s:
若t[XZ]=s[XZ],由于X ⊆XZ,Z⊆ XZ,根据自反律,则有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z];
由于X→Y,于是t[Y]=s[Y],所以t[YZ]=s[YZ];所以XZ→YZ成立,增广律得证。
A3传递律:若X→Y,Y→Z为F所蕴含,则X→Z为F所蕴含
证明3
设X→Y及Y→Z为F所蕴含。
对R<U,F>的任一关系r中的任意两个元组t,s:
若t[X]=s[X],由于X→Y,有t[Y]=s[Y];
再由于Y→Z,有t[Z]=s[Z],所以X→Z为F所蕴含,传递律得证。
合并规则:若X→Y,X→Z,则X→YZ为F所蕴含
证明4
因X→Y ,所以X→XY (增广律 XX→XY即X→XY)
因X→Z ,所以XY→YZ (增广律)
因X→XY,XY→YZ
故X→YZ (传递律)
伪传递规则:若X→Y,WY→Z,则XW→Z为F所蕴含
证明5
因X→Y ,所以WX→WY (增广律)
因WY→Z ,所以XW→Z (传递律)
分解规则:若X→Y,Z∈Y,则X→Z为F所蕴含
证明6
因Z∈Y 所以Y→Z (自反律)
因X→Y 所以X→Z (传递律)
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