第三章复变函数的积分_复积分-程序员宅基地

文章目录

1. 复积分的概念
2. 柯西积分定理
3. 柯西积分公式
- 3.1 利用柯西积分公式计算含奇点的曲线积分[7]
4. 解析函数的高阶导数
- 4.1 高阶导数定理
- - 4.1.1 利用高阶导数定理求高阶闭合曲线积分[8]

1. 复积分的概念

1.1 复积分的定义

$\int_cf(z)dz=\lim_{ \lambda->0 }f(\xi)\Delta z$

1.2 复积分的性质

（1） $\int_c f(z)dz = -\int_{c^-}f(z)dz$
（2） $\int_c f(z)dz = \int_{c_1}f(z)dz+\int_{c_2}f(z)dz$
（3） $|\int_c f(z)dz| \leq \int_c |f(z)| |dz| \leq ML$

在这里插入图片描述

1.3 复积分的计算

【积分】方法1：化为第二类曲线积分

$\int_c f(z) dz = \int_c(u+iv)(dx+idy)=\int_c(udx-vdy)+i\int_c(vdx+udy)$
（一般较少使用）

【积分】方法2：直接化为定积分[5]

$\\ \int_c f(z) dz = \int_cf[z(t)]z'(t)dt$
在这里插入图片描述

【积分】方法3：利用原函数求解

$\int_c f(z) dz = F(z)|_{z_o}^{z_1}$

【闭合曲线积分】方法4：柯西积分定理

设函数f(z)在单连通区域D内解析， $\tau$ 为D内的任意一条简单闭曲线，则：
$\oint_{tau}f(z)dz=0$
在这里插入图片描述

【闭合曲线积分】方法5：复合闭路定理

设多连域D的边界为 $C=C_0+C_1^-+C_2^-+\dots+C_n^-$ 如图，f(z)在D内解析，在C上连续，则：
$\oint_{c_0} f(z) dz = \oint_{c_1} f(z) dz+\oint_{c_2} f(z) dz+\dots+\oint_{c_n} f(z) dz$
在这里插入图片描述

【闭合曲线积分】方法6：柯西积分公式

如果函数f(z)在区域D内解析，在边界C上连续， $z_0 \in D$ 是f(z)的奇点（不解析点），则：
$\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z)$
在这里插入图片描述

【闭合曲线积分】方法7：高阶导数定理

如果函数f(z)在区域D内解析，在 $\bar{D}=D+C$ 上连续，则f(z)的各阶导数均在D上解析，且：
$\oint_C \frac{f(\tau)}{(\tau-z)^{n+1}}d\tau = \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(\tau)$

【曲线积分】方法8：留数定理

设 $z_0$ 为函数f(z)的孤立奇点，将f(z)在 $z_0$ 的去心邻域内展开成洛朗级数：
$\oint_C f(z)dz=2\pi iRes[f(z),z0]=2\pi ia_{-1}$

1.4 常见的积分公式

（1） $\oint \frac{dz}{(z-z_0)^n}$ ，其中C为 $z-z_0|=r$ ，n为整数
在这里插入图片描述
$\oint \frac{dz}{(z-z_0)^n} = \begin{cases} 2 \pi i \ , n=1 \\ 0 \ , n \neq1 \end{cases}$

（2）柯西积分公式
$\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2 \pi i f(z_0)$

（3）高阶导数定理
$\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2 \pi i}{n!} f^{(n)}(z_0)$

2. 柯西积分定理

2.1 柯西基本定理

定理1
设函数f(z)在单连通区域D内解析， $\tau$ 为D内的任意一条简单闭曲线，则：
$\oint_\tau f(z) dz = 0$
在这里插入图片描述
理解
当函数在区域D内解析，其在区域内的闭合曲线积分为0

定理2
设单连域D的边界为C，函数f(z)在单连通区域D内解析，在 $\bar{D}=D+C$ 上连续，则：
$\oint_C f(z) dz = 0$
在这里插入图片描述
理解
函数在其解析区域内的闭合曲线积分为0

2.2 闭路变形原理

定理
设二连域D的边界 $C=C_1+C_2^-$ ，函数f(z)在D内解析，在C上连续，则：
$\oint_C f(z) dz = 0 \\ \oint_{C_1} f(z) dz + \oint_{C_2^-} f(z) dz = 0 \\ \oint_{C_1} f(z) dz = \oint_{C_2} f(z) dz = \oint_{\tau} f(z) dz$
在这里插入图片描述
理解
若f(z)在D内有奇点，则可以通过缩小闭合回路范围计算闭合回路积分

2.3 复合闭路定理

定理
设多连域D的边界为 $C=C_0+C_1^-+\cdots+C_n^-$ ，函数f(z)在D内解析，在C上连续，则：
$\oint_{C_0} f(z) dz = \oint_{C_1} f(z) dz + \oint_{C_2} f(z) dz + \cdots +\oint_{C_n} f(z) dz$
理解
函数在D内含多个奇点，可将闭合曲线积分转换为包围各奇点的闭合曲线的和

2.3.1 利用复合闭路定理求含奇点的曲线积分[6]

步骤
（1）求函数f(z)的解析区域
（2）根据闭合回路定理选择回路列方程，并根据柯西基本定理与重要公式得解

重要公式
在这里插入图片描述
题目

2.4 路径无关性

定理
设函数f(x)在单连通域D内解析， $C_1,C_2$ 为D内的任意两条从 $z_0$ 到 $z_1$ 的简单曲线，有：
$\int_{C_1} f(z)dz = \int_{C_2} f(z)dz$
在这里插入图片描述

2.5 原函数

定义
设在单连域D内，函数F(z)恒满足条件F’(z) = f(z)，则F(z)称为f(z)在D内的一个原函数

Newton-Leibniz公式
$\int_{z_0}^{z_1}f(z) dz = F(z_1)-F(z_0)$

3. 柯西积分公式

定理
如果函数f(z)在区域D内解析，在边界C上连续， $z_0 \in D$ ，则
$f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz \\ f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi$

意义
解析函数可用解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来

应用
利用柯西积分公式反过来计算积分
$\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2 \pi i f(z_0)$

3.1 利用柯西积分公式计算含奇点的曲线积分[7]

步骤
（1）求函数f(z)的解析区域
（2）根据闭合回路定理选择回路列方程，并根据柯西积分公式求得积分
在这里插入图片描述
理解
同样是利用了复合闭路定理列的方程，只是求解积分的方式发生了改变

4. 解析函数的高阶导数

4.1 高阶导数定理

定理
如果函数f(z)在区域D内解析，在 $\bar{D}=D+C$ 上连续，则f(z)得各阶导数均在D上解析，且：
$\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi \\ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi$

应用
将高阶导数定理反过来计算积分：
$\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2 \pi i}{n!} f^{(n)}(z_0)$

意义
解析函数得导数仍解析

4.1.1 利用高阶导数定理求高阶闭合曲线积分[8]

步骤
（1）求函数f(z)的解析区域
（2）根据闭合回路定理选择回路列方程，并根据高阶导数定理求得积分
在这里插入图片描述
千万注意高阶导数积分公式！！！（后面是求导f(z)的n阶导）
$\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2 \pi i}{n!} f^{(n)}(z_0)$

本文链接：https://blog.csdn.net/koulongxin123/article/details/121044748

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