矩阵的特征值及特征向量理解_矩阵特征值-程序员宅基地

技术标签：矩阵线性代数矩阵分析

直观印象

如果把矩阵看作是运动，对于运动而言，最重要的是运动的速度和方向，那么：

特征值就是运动的速度
特征向量就是运动的方向

既然运动最重要的两方面都被描述了，特征值、特征向量自然可以称为运动（矩阵）的特征。

注意：由于矩阵是数学概念，非常抽象，所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的，在现实中有不同的替代。

1 几何意义

在后面的介绍中，画图都会把作图所用的基和原点给画出来。

在 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 为基的空间里有向量 $\overrightarrow{v}$ ：
在这里插入图片描述
随便左乘一个矩阵A，此时图像如下所示，可以看到没有什么特殊：

在这里插入图片描述
这时如果调整下 $\overrightarrow{v}$ 的方向，图像看上去就有点特殊了

我们可以观察到，调整后的 $\overrightarrow{v}$ 和 $A\overrightarrow{v}$ 在同一根直线上，只是 $A\overrightarrow{v}$ 的长度相对 $\overrightarrow{v}$ 变长了。

此时，我们称 $\overrightarrow{v}$ 是A的特征向量，而 $A\overrightarrow{v}$ 的长度是 $\overrightarrow{v}$ 的长度的 $\lambda$ 倍， $\lambda$ 就是特征值。从而，特征值和特征向量的定义如下：
在这里插入图片描述
其实之前的A不止一个特征向量，还有另一个特征向量：

可以看出此时特征值小于1，所以两个特征向量对应的特征值一个大于1一个小于1。

从特征向量和特征值的定义还可以看出，特征向量所在直线上的向量都是特征向量。
在这里插入图片描述

接下来介绍下特征值、特征向量与运动的关系。

2 运动的速度与方向

2.1 矩阵的混合

一般来说，矩阵我们可以看作某种运动，而二维向量可以看作平面上的一个点（或者一个箭头）。对于点我们是可以观察的，但是运动我们无法直接观察。

要观察矩阵代表的运动，需要把它附加到向量上才能观察出来。

首先进行一次乘法：
在这里插入图片描述
现在还看不出明显的规律，但如果我们反复运用矩阵乘法：

这个时候矩阵所代表的运动的最明显的特征，即速度最大的方向，就由最大特征值对应的特征向量展现了出来。（别的特征值对应的是什么速度，后面解释，这里先跳过）

2.2 以一个例子来理解

斐波那契数列如下：

$T_{t+1}=T_t+T_{t-1}$

要继续计算下去，我们只需要 $T_{t+1}$ 以及 $T_t$ ，因此我们可以改写成如下的式子：

$\begin{bmatrix}T_{t+1}\\T_t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}T_{t}\\T_{t-1}\end{bmatrix}$

这里，我们就将斐波那契变换这种变换（也可以理解为运动）抽象为了矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$ ，根据斐波那契数列，让我们从 $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 开始，整个变化过程如下：
在这里插入图片描述
此时我们可以看出，点会随着 $A$ 的特征值最大的特征向量的方向变化。

3 特征值分解

待补充

我们知道，如果矩阵A可对角化的话，可以通过相似矩阵进行如下的特征值分解：

$A=P\Lambda P^{-1}$

其中 $\Lambda$ 为对角阵， $P$ 的列向量是单位化的特征向量，以下是一个具体的例子：
在这里插入图片描述
对于方阵而言，矩阵不会进行维度的升降，所以矩阵代表的运动实际上只有两种：

旋转
拉伸

最后的运动结果就是这两种的合成。

我们回头看下刚才的特征值分解，实际上把运动給分解开了：
在这里插入图片描述
然后看下在几何上的表现，因为相似矩阵的介绍涉及到基的变换，所以我们需要注意观察基：

假如存在这样一对单位特征向量，然后有着在这样一对特征向量下的正方形
在这里插入图片描述
此时左乘 $P=\begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}$ ，可以得到：

如果旋转前的基不正交，那么旋转后变成了标准基（？），实际会产生伸缩，所以之前说的正交很重要。

继续左乘对角矩阵 $\Lambda=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}$ ：

在这里插入图片描述
相当于，之前的旋转指明了拉伸的方向，所以我们理解了：

特征值就是拉伸的大小
特征向量指明了拉伸的方向

回到之前所说的运动，特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向，而其余方向的运动就由特征向量方向的运动合成（？）。所以最大的特征值对应的特征向量指明了运动速度的最大方向。

但是注意，上面的推论有一个重要的条件，这个条件就是特征向量正交，这样变换后才能保证变换最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是变化最大的方向（？），比如：
在这里插入图片描述
所以我们在实际应用中，都要去找正交基。但是特征向量很有可能不是正交的，那么我们就需要奇异值分解（在这里不展开）。

https://www.matongxue.com/madocs/228.html

1.5 关于特征值的计算

已知n阶矩阵A的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ ， $p (x)$ 为x的多项式，则P(A)的特征值为：

$p(\lambda_1),p(\lambda_2),...,p(\lambda_n)$

本文链接：https://blog.csdn.net/kking_edc/article/details/106564658

原作者删帖不实内容删帖广告或垃圾文章投诉

智能推荐

while循环&CPU占用率高问题深入分析与解决方案_main函数使用while(1)循环cpu占用99-程序员宅基地

文章浏览阅读3.8k次，点赞9次，收藏28次。直接上一个工作中碰到的问题，另外一个系统开启多线程调用我这边的接口，然后我这边会开启多线程批量查询第三方接口并且返回给调用方。使用的是两三年前别人遗留下来的方法，放到线上后发现确实是可以正常取到结果，但是一旦调用，CPU占用就直接100%(部署环境是win server服务器)。因此查看了下相关的老代码并使用JProfiler查看发现是在某个while循环的时候有问题。具体项目代码就不贴了，类似于下面这段代码。while(flag) {//your code;}这里的flag._main函数使用while(1)循环cpu占用99

【无标题】jetbrains idea shift f6不生效_idea shift +f6快捷键不生效-程序员宅基地

文章浏览阅读347次。idea shift f6 快捷键无效_idea shift +f6快捷键不生效

node.js学习笔记之Node中的核心模块_node模块中有很多核心模块,以下不属于核心模块,使用时需下载的是-程序员宅基地

文章浏览阅读135次。Ecmacript 中没有DOM 和 BOM核心模块Node为JavaScript提供了很多服务器级别，这些API绝大多数都被包装到了一个具名和核心模块中了，例如文件操作的 fs 核心模块，http服务构建的http 模块 path 路径操作模块 os 操作系统信息模块// 用来获取机器信息的var os = require('os')// 用来操作路径的var path = require('path')// 获取当前机器的 CPU 信息console.log(os.cpus._node模块中有很多核心模块,以下不属于核心模块,使用时需下载的是

数学建模【SPSS 下载-安装、方差分析与回归分析的SPSS实现(软件概述、方差分析、回归分析)】_化工数学模型数据回归软件-程序员宅基地

文章浏览阅读10w+次，点赞435次，收藏3.4k次。SPSS 22 下载安装过程7.6 方差分析与回归分析的SPSS实现7.6.1 SPSS软件概述1 SPSS版本与安装2 SPSS界面3 SPSS特点4 SPSS数据7.6.2 SPSS与方差分析1 单因素方差分析2 双因素方差分析7.6.3 SPSS与回归分析SPSS回归分析过程牙膏价格问题的回归分析_化工数学模型数据回归软件

利用hutool实现邮件发送功能_hutool发送邮件-程序员宅基地

文章浏览阅读7.5k次。如何利用hutool工具包实现邮件发送功能呢？1、首先引入hutool依赖<dependency> <groupId>cn.hutool</groupId> <artifactId>hutool-all</artifactId> <version>5.7.19</version></dependency>2、编写邮件发送工具类package com.pc.c..._hutool发送邮件

docker安装elasticsearch，elasticsearch-head，kibana，ik分词器_docker安装kibana连接elasticsearch并且elasticsearch有密码-程序员宅基地

文章浏览阅读867次，点赞2次，收藏2次。docker安装elasticsearch，elasticsearch-head，kibana，ik分词器安装方式基本有两种，一种是pull的方式，一种是Dockerfile的方式，由于pull的方式pull下来后还需配置许多东西且不便于复用，个人比较喜欢使用Dockerfile的方式所有docker支持的镜像基本都在https://hub.docker.com/docker的官网上能找到合..._docker安装kibana连接elasticsearch并且elasticsearch有密码

随便推点

Python 攻克移动开发失败！_beeware-程序员宅基地

文章浏览阅读1.3w次，点赞57次，收藏92次。整理 | 郑丽媛出品 | CSDN（ID：CSDNnews）近年来，随着机器学习的兴起，有一门编程语言逐渐变得火热——Python。得益于其针对机器学习提供了大量开源框架和第三方模块，内置..._beeware

Swift4.0_Timer 的基本使用_swift timer 暂停-程序员宅基地

文章浏览阅读7.9k次。//// ViewController.swift// Day_10_Timer//// Created by dongqiangfei on 2018/10/15.// Copyright 2018年飞飞. All rights reserved.//import UIKitclass ViewController: UIViewController { ..._swift timer 暂停

元素三大等待-程序员宅基地

文章浏览阅读986次，点赞2次，收藏2次。1.硬性等待让当前线程暂停执行，应用场景：代码执行速度太快了，但是UI元素没有立马加载出来，造成两者不同步，这时候就可以让代码等待一下，再去执行找元素的动作线程休眠，强制等待 Thread.sleep(long mills)package com.example.demo;import org.junit.jupiter.api.Test;import org.openqa.selenium.By;import org.openqa.selenium.firefox.Firefox.._元素三大等待