常用不等式_不等式常用引理-程序员宅基地

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Jensen不等式

凸集:给定集合S以及其中任意两个元素 x 1 ∈ S , x 2 ∈ S \bold{x}_1 \in S, \bold{x}_2 \in S x1S,x2S,若对于任意实数 0 < λ < 1 0 < \lambda < 1 0<λ<1,恒 λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ∈ S \lambda \bold{x}_1 + (1-\lambda)\bold{x}_2 \in S λx1+(1λ)x2S,则称 S 为凸集。

凸函数:函数f的定义域为凸集S,若对于任意实数 0 < λ < 1 0 < \lambda < 1 0<λ<1以及定义域中的任意两点 x 1 ∈ S , x 2 ∈ S \bold{x}_1\in S,\bold{x}_2\in S x1S,x2S恒有

λ f ( x 1 ) + ( 1 − λ ) f ( x 2 ) ≤ f ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) \lambda f(\bold{x}_1) + (1-\lambda)f(\bold{x}_2)\le f(\lambda \bold{x}_1 + (1-\lambda)\bold{x}_2) λf(x1)+(1λ)f(x2)f(λx1+(1λ)x2)

则称函数f为定义在S上的凸集。以上不等式也是Jensen不等式的两点形式。

若对于任意点 x i \bold{x}_i xi, 若对于实数 λ i ≥ 0 , ∑ λ i = 1 \lambda_i\ge 0, \sum \lambda_i = 1 λi0,λi=1, 可以证明凸函数满足:

f ( ∑ λ i x i ) ≤ ∑ λ i f ( x i ) f(\sum \lambda_i \bold{x}_i) \le \sum \lambda_i f(\bold{x}_i) f(λixi)λif(xi)

被称为Jensen不等式。

x \bold{x} x看作随机变量, λ \lambda λ为随机变量的概率分布,则得到:

f ( E ( x ) ) ≤ E ( f ( x ) ) f(E(\bold{x})) \le E(f(\bold{x})) f(E(x))E(f(x))

马尔科夫不等式

非负随机变量 X ≥ 0 X \ge 0 X0,期望记为 E ( X ) E(X) E(X),那么对于任意 a > 0 a > 0 a>0,有

P ( X ≥ a ) ≤ E ( X ) a P(X\ge a) \le \frac{E(X)}{a} P(Xa)aE(X)

证明:

E ( X ) = ∫ 0 + ∞ X P ( X ) d X ≥ ∫ a + ∞ X P ( X ) d X E(X) = \int_0^{+\infin}XP(X)dX\ge \int_a^{+\infin}XP(X)dX E(X)=0+XP(X)dXa+XP(X)dX

≥ ∫ a + ∞ a P ( X ) d X = a ∫ a + ∞ P ( X ) d X \ge \int_a^{+\infin}aP(X)dX=a\int_a^{+\infin}P(X)dX a+aP(X)dX=aa+P(X)dX

= a P ( X ≥ a ) =aP(X\ge a) =aP(Xa)

P ( X ≥ a ) ≤ E ( X ) a P(X\ge a) \le \frac{E(X)}{a} P(Xa)aE(X)

切比雪夫不等式

随机变量 X X X,期望 E ( X ) = μ E(X) = \mu E(X)=μ, 方差 D ( X ) = σ 2 D(X)=\sigma^2 D(X)=σ2,则对于任意实数 a > 0 a > 0 a>0,有

P ( ∣ X − μ ∣ ≥ a ) ≤ σ 2 a 2 P(|X-\mu|\ge a) \le \frac{\sigma^2}{a^2} P(Xμa)a2σ2

P ( ∣ X − μ ∣ < a ) ≥ 1 − σ 2 a 2 P(|X-\mu|< a) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{a^2} P(Xμ<a)1a2σ2

证明:

P ( ∣ X − μ ∣ ≥ a ) = P ( ( X − μ ) 2 ≥ a 2 ) P(|X-\mu|\ge a) = P((X-\mu)^2\ge a^2) P(Xμa)=P((Xμ)2a2)

≤ E ( ( X − μ ) 2 ) a 2 \le \frac{E((X-\mu)^2)}{a^2} a2E((Xμ)2)

= σ 2 a 2 =\frac{\sigma^2}{a^2} =a2σ2

霍夫丁不等式引理

对于随机变量 X , P ( X ∈ [ a , b ] ) = 1 , E ( X ) = 0 X,P(X\in[a,b]) = 1,E(X) = 0 X,P(X[a,b])=1,E(X)=0,则有:

E ( e s X ) ≤ e s 2 ( b − a ) 2 / 8 E(e^{sX})\le e^{s^2(b-a)^2/8} E(esX)es2(ba)2/8

证明:待续

霍夫丁不等式

有两两独立的一系列随机变量 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn,满足 P ( X i ∈ [ a i , b i ] ) = 1 , 0 ≤ i ≤ 1 P(X_i\in[a_i,b_i]) = 1,0\le i\le 1 P(Xi[ai,bi])=10i1,那么这n个随机变量的均值 X ‾ = X 1 + X 2 + . . . + X n n \overline{X}=\frac{X_1 + X_2+...+X_n}{n} X=nX1+X2+...+Xn满足以下不等式:

P ( X ‾ − E ( X ‾ ) ≥ t ) ≤ e x p ( − 2 t 2 n 2 ∑ i = 1 n ( b i − a i ) 2 ) P(\overline{X}-E(\overline{X})\ge t) \le exp(-\frac{2t^2n^2}{\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}) P(XE(X)t)exp(i=1n(biai)22t2n2)

P ( ∣ X ‾ − E ( X ‾ ) ∣ ≥ t ) ≤ 2 e x p ( − 2 t 2 n 2 ∑ i = 1 n ( b i − a i ) 2 ) P(|\overline{X}-E(\overline{X})|\ge t)\le 2exp(-\frac{2t^2n^2}{\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}) P(XE(X)t)2exp(i=1n(biai)22t2n2)

证明:待续

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