球面投影 (立体和柱面的投影效果)-程序员宅基地
技术标签： Computer Graphics Stereographic and Cy Spherical Projection 球面投影
【原文来自：http://blog.csdn.net/zhang11wu4/article/details/47754035】
EEG data courtesy of Dr Per Line
December 1996, Updated December 1999
立体效果（在2维平面 画出 3维的物体）
立体投影是把球面上的点投影到平面的方法之一。立体投影通常用于地球和空间的地图绘制。这些地图绘制通常有以下的特点：它们的几何外观是球面状，但是却需要在纸张或者电脑显示器这样的平面上展示。只要把球面映射到平面就会产生扭曲失真，当然立体投影也毫无例外。所有说它并不是一种能够得到最小扭曲失真投影的理想方法。
立体投影模型：一个透明球体置于平面之上。我们把球体与平面相切的点叫南极点，把光源 置于南极点过球心对称的点P1，北极点。每一条透过球面某一点P2的光线都会投射在平面上的某一点P，那么这个点P就是球面P2点在平面上的立体投影。
为了推导立体投影的坐标转换公式，我们假设：球心位于 坐标原点(0,0,0)，球的半径是 r，投影平面在 z = -r 上，光源在点 (0,0,r) 上。参照以下的 Schlegal 图解：
假设过光源点P1 = (0,0,r) 、球面上的点P2 = (x,y,z)的线的点方程是：
我们要求出P2锅直线在平面上交点，即(Px, Py, -r)，代入（1）式得：
或：
现在我们可以吧常数mu回代到（1）式来取得任意球面上点 (x,y,z) 的立体投影：
P = P1 + (P2 - P1) * 2r / (r - z)
注意：
- 南极点位于整个投影的中心
- 纬线的投影的同心圆的圆心位于 (0,0, -r)
- 经线的投影是点 (0,0,-r)的射线
- 在南极点上几乎没有扭曲失真
- 投影的结果是一个半径为 2r 的圆
- 越靠近北极点扭曲失真越大，北极点则失真无限大
下面的例子来自于EEG数据中心的一个近似半球体(人的头部)。这些数据可以在一个虚拟的半球上重新渲染出来，但这样做不能够在任意视角看到整个半球的表面（也就是每一个角度都只能看到特定的半球表面）。最后的角度是从这个头部的正上方往下看，不过头部边缘会因为曲率的原因产生严重的压缩失真。
以下左图展示了半球体的平面投影，右图展示了同一半球体的立体投影。我们可以看到右图边缘的压缩失真得到了极大的改善，边缘区域的视觉效果得到了极大的提升。
注意：为了保持半球和投影大小在同一个维度，右图在平面上的投影是按0.5的比例显示。
圆柱面投影
通常柱面投影把纬线投影成等距的平行线，把在极点相交的经线也投影成了等距的平行线。图示说明柱面投影的基本方法：从球心向球面作一条线相交于圆柱面，这个交点即为所求投影点。
推导公式非常直观明了：
设极坐标系球面上的点P(r, alpha, beta)，令r=1
设展开的圆柱面水平方向为x轴，垂直方向为y轴，坐标原点位于垂直方向的中间（水平方向的最左方），则有：
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