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写在前面

梯度是微积分中的基本概念，也是机器学习解优化问题经常使用的数学工具（梯度下降算法），虽然常说常听常见，但其细节、物理意义以及几何解释还是值得深挖一下，这些不清楚，梯度就成了“熟悉的陌生人”，仅仅“记住就完了”在用时难免会感觉不踏实，为了“用得放心”，本文将尝试直观地回答以下几个问题，

• 梯度与偏导数的关系？
• 梯度与方向导数的关系？
• 为什么说梯度方向是上升最快的方向，负梯度方向为下降最快的方向？
• 梯度的模有什么物理意义？
• 等高线图中绘制的梯度为什么垂直于等高线？
• 全微分与隐函数的梯度有什么关系？
• 梯度为什么有时又成了法向量？

闲话少说，书归正传。在全篇“作用域”内，假定函数可导。

偏导数

在博文《单变量微分、导数与链式法则 博客园 | CSDN | blog.shinelee.me》中，我们回顾了常见初等函数的导数，概括地说，

导数是一元函数的变化率（斜率）。导数也是函数，是函数的变化率与位置的关系。

如果是多元函数呢？则为偏导数。

偏导数是多元函数“退化”成一元函数时的导数，这里“退化”的意思是固定其他变量的值，只保留一个变量，依次保留每个变量，则$N$元函数有$N$个偏导数。

以二元函数为例，令$z=f(x,y)$，绘制在3维坐标系如下图所示，

在分别固定$y$和$x$的取值后得到下图中的黑色曲线——“退化”为一元函数，二维坐标系中的曲线——则偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$分别为曲线的导数（切线斜率）。

由上可知，一个变量对应一个坐标轴，偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数（切线斜率）。

方向导数

如果是方向不是沿着坐标轴方向，而是任意方向呢？则为方向导数。如下图所示，点$P$位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率，来自链接Directional Derivative

方向导数为函数在某一个方向上的导数，具体地，定义$xy$平面上一点$(a,b)$以及单位向量$\vec{u}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，在曲面$z=f(x,y)$上，从点$(a,b,f(a,b))$出发，沿$\vec{u}=(\cos \theta ,\sin \theta )$方向走$t$单位长度后，函数值$z$为$F(t)=f(a+t\cos \theta ,b+t\sin \theta )$，则点$(a,b)$处$\vec{u}=(\cos \theta ,\sin \theta )$方向的方向导数为：
$$\begin{array}{rl}& {\frac{d}{dt}f(a+t\cos \theta ,b+t\sin \theta )|}_{t=0}\\ =& \underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+t\cos \theta ,b+t\sin \theta )-f(a,b)}{t}\\ =& \underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+t\cos \theta ,b+t\sin \theta )-f(a,b+t\sin \theta )}{t}+\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a,b+t\sin \theta )-f(a,b)}{t}\\ =& \frac{\partial }{\partial x}f(a,b)\frac{dx}{dt}+\frac{\partial }{\partial y}f(a,b)\frac{dy}{dt}\\ =& f_x(a,b)\cos \theta +f_y(a,b)\sin \theta \\ =& \left(f_x(a,b),f_y(a,b)\right)\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )\end{array}$$
上面推导中使用了链式法则。其中，$f_x(a,b)$和$f_y(a,b)$分别为函数在$(a,b)$位置的偏导数。由上面的推导可知：

该位置处，任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时，方向导数即偏导数，换句话说，偏导数为坐标轴方向上的方向导数，其他方向的方向导数为偏导数的合成。

写成向量形式，偏导数构成的向量为$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b),f_y(a,b))$，称之为梯度。

梯度

梯度，写作$\nabla f$，二元时为$(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y})$，多元时为$(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\dots )$。

我们继续上面方向导数的推导，$(a,b)$处$\theta$方向上的方向导数为
$$\begin{array}{rl}& \left(f_x(a,b),f_y(a,b)\right)\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )\\ =& |((f_x(a,b),f_y(a,b))|\cdot |1|\cdot \cos \varphi \\ =& |\nabla f(a,b)|\cdot \cos \varphi \end{array}$$
其中，$\varphi$为$\nabla f(a,b)$与$\vec{u}$的夹角，显然，当$\varphi =0$即$\vec{u}$与梯度$\nabla f(a,b)$同向时，方向导数取得最大值，最大值为梯度的模$|\nabla f(a,b)|$，当$\varphi =\pi$即$\vec{u}$与梯度$\nabla f(a,b)$反向时，方向导数取得最小值，最小值为梯度模的相反数。此外，根据上面方向导数的公式可知，在夹角$\varphi <\frac{\pi }{2}$时方向导数为正，表示$\vec{u}$方向函数值上升，$\varphi >\frac{\pi }{2}$时方向导数为负，表示该方向函数值下降。

至此，方才有了梯度的几何意义：

1. 当前位置的梯度方向，为函数在该位置处方向导数最大的方向，也是函数值上升最快的方向，反方向为下降最快的方向；
2. 当前位置的梯度长度（模），为最大方向导数的值。

等高线图中的梯度

在讲解各种优化算法时，我们经常看到目标函数的等高线图示意图，如下图所示，来自链接Applet: Gradient and directional derivative on a mountain，

图中，红点为当前位置，红色箭头为梯度，绿色箭头为其他方向，其与梯度的夹角为$\theta$。

将左图中$z=f(x,y)$曲面上的等高线投影到$xy$平面，得到右图的等高线图。

梯度与等高线垂直。为什么呢？

等高线，顾名思义，即这条线上的点高度（函数值）相同，令某一条等高线为$z=f(x,y)=C$，$C$为常数，两边同时全微分，如下所示

$$\begin{array}{rl}dz=& \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\\ =& (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})\cdot (dx,dy)\\ =& dC=0\end{array}$$

这里，两边同时全微分的几何含义是，在当前等高线上挪动任意一个极小单元，等号两侧的变化量相同。$f(x,y)$的变化量有两个来源，一个由$x$的变化带来，另一个由$y$的变化带来，在一阶情况下，由$x$带来的变化量为$\frac{\partial f}{\partial x}dx$，由$y$带来的变化量为$\frac{\partial f}{\partial y}dy$，两者叠加为$z$的总变化量，等号右侧为常数，因为我们指定在当前等高线上挪动一个极小单元，其变化量为0，左侧等于右侧。进一步拆分成向量内积形式，$(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$为梯度，$(dx,dy)$为该点指向任意方向的极小向量，因为两者内积为0，所以两者垂直。自然不难得出梯度与等高线垂直的结论。

更进一步地，梯度方向指向函数上升最快的方向，在等高线图中，梯度指向高度更高的等高线。

隐函数的梯度

同理，对于隐函数$f(x,y)=0$，也可以看成是一种等高线。二元时，两边同时微分，梯度垂直于曲线；多元时，两边同时微分，梯度垂直于高维曲面。

即，隐函数的梯度为其高维曲面的法向量。

有了法向量，切线或切平面也就不难计算得到了。令曲线$f(x,y)$上一点为$(a,b)$，通过全微分得该点的梯度为$(f_x,f_y)$，则该点处的切线为$f_x(x-a)+f_y(y-b)=0$，相当于将上面的微分向量$(dx,dy)$替换为$(x-a,y-b)$，其几何意义为法向量垂直切平面上的任意向量。

小结

至此，文章开篇几个问题的答案就不难得出了，

• 偏导数构成的向量为梯度；
• 方向导数为梯度在该方向上的合成，系数为该方向的单位向量；
• 梯度方向为方向导数最大的方向，梯度的模为最大的方向导数；
• 微分的结果为梯度与微分向量的内积
• 等高线全微分的结果为0，所以其梯度垂直于等高线，同时指向高度更高的等高线
• 隐函数可以看成是一种等高线，其梯度为高维曲面（曲线）的法向量

以上。

参考

• Gradients and Partial Derivatives
• Directional Derivative
• Applet: Gradient and directional derivative on a mountain
• Gradient descent
• Gradient
• Partial derivative
• ppt Partial derivative