1．  线性函数

在数学里，线性函数(也称一次函数)这名词主要是用于两种不同，但相关的领域。

在初级代数与解析几何，线性函数是只拥有一个变量的一阶多项式函数(形如f(x)=a_n*xⁿ+a_n-1*x^(n-1)+…+a₂*x²+a₁*x+a₀的函数，叫做多项式函数，当n=1时，为一次函数，当n=2时，为二次函数)。因为，采用直角坐标系，这些函数的图形是直线，所以，这些函数是线性的。线性函数可以表达为斜截式：f(x)=kx+b，其中k是斜率，而b是f(x)在y轴上的截距，即函数图形与y轴相交点的y坐标。改变斜率k会使直线更陡峭或平缓。改变y截距b会将直线移上或移下。

在高等数学里，线性函数是一个线性映射(linear map，是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算。而线性变换(linear transformation)是线性空间V到其自身的线性映射)，是在两个向量空间之间，维持向量加法与标量乘法的映射。函数f:V→W被称为是线性映射。

假若，用坐标向量(coordinate vector)来表示x与f(x)，那么线性函数可以表达为f(x)=M*x，其中M是矩阵。

2．  线性关系

在现代学术界中，线性关系一词存在2种不同的含义。其一，若某数学函数或数量关系的函数图形呈现为一条直线或线段，那么这种关系就是一种线性的关系。其二，在代数学和数学分析学中，如果一种运算同时满足特定的”加性”和”齐性”，则称这种运算是线性的。

如果称一个数学函数L(x)为线性的，可以是指：

定义1：L(x)是个只拥有一个变数(变量)的一阶多项式函数，即是可以表示为L(x)=kx+b的形式，其中k,b为常数。

定义2：L(x)具有以下两个性质：

可加性：L(x+t)=L(x)+L(t)

一次齐次性：L(mx)=mL(x)

需要注意这2种定义分别描述的是2类不同的事物。

在初等数学中(主要是与方程组及一次函数有关的理论)，使用的是定义1。但在高等数学(尤其是纯数学)中所说的线性一般是用定义2来给出定义。如对线性相关和线性变换的定义。但初等数学中有关”线性”的一些习惯术语也在高等数学沿用，如”线性回归”。

3．  线性无关

在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其它向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R³的三个向量(1,0,0),(0,1,0)和(0,0,1)线性无关。但(2,-1,1),(1,0,1)和(3,-1,2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

假设V是域K上的向量空间。如果v₁,v₂,…,v_n是V的向量，称它们为线性相关，如果从域K中有非全零的元素a₁,a₂,…,a_n，适合a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n=0(注意右边的零是V的零向量，不是K的零元)。如果K中不存在这样的元素，那么v₁,v₂,…,v_n是线性无关。

对线性无关可以给出更直接的定义：向量v₁,v₂,…,v_n线性无关，当且仅当它们满足以下条件：如果a₁,a₂,…,a_n是K的元素，适合：a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n=0，那么对所有i=1,2,…,n都有a_i=0.

在V中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。

线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。

相关性：

(1)、含有零向量的向量组，必定线性相关；

(2)、含有两个相等向量的向量组，必定线性相关；

(3)、若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关；

(4)、整体线性无关，局部必线性无关；

(5)、向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关；

(6)、若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关；

(7)、若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关；

(8)、若a₁,a₂,…,a₈线性无关，而b,a₁,a₂,…,a₈线性相关，则b必可由a₁,a₂,…,a₈线性表示，且表示系数唯一；

(9)、有向量组Ⅰ{ a₁,a₂,…,a_s}和Ⅱ{b₁,b₂,…b_t}，其中t>s，且Ⅱ中每个向量都可由Ⅰ线性表示，则向量组Ⅱ必线性相关。即向量个数多的向量组，若可被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组必线性相关。

(10)、若一向量组b₁,b₂,…b_t可由向量组a₁,a₂,…,a_s线性表示，且b₁,b₂,…b_t线性无关，则t≤s。即线性无关的向量组，无法以向量个数较少的向量组线性表示。

4．  线性映射

在数学中，线性映射(有的书上将”线性变换”作为同义词，有的则不然)是两个向量空间(包括由函数构成的抽象的向量空间)之间的一种保持向量加法和标量乘法的特殊映射。线性映射从抽象代数角度看是向量空间的同态(抽象代数中，同态是两个代数结构(在泛代数中代数结构是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合)(例如群、环、或者向量空间)之间的保持结构不变的映射)。

“线性算子”也是与”线性映射”有关的概念。但是不同数学书籍上对”线性算子”的定义存在区别。在泛函分析中，”线性算子”一般被当做”线性映射”的同义词。而有的书则将”线性算子”定义为”线性映射”的自同态子类。

设V和W是在相同域K上的向量空间。法则f:V→W被称为是线性映射，如果对于V中任何两个向量x和y与K中任何标量a，满足下列两个条件：

可加性：f(x+y)=f(x)+f(y)

齐次性：f(ax)=af(x)

这等价于要求对于任何向量x₁,…,x_m和标量a₁,…,a_m，方程f(a₁x₁+…+a_mx_m)=a₁f(x₁)+…+a_mf(x_m)成立。

偶尔地，V和W可被看作在不同域上的向量空间。那么必须指定哪些基础域要被用在”线性”的定义中。如果V和W被看作前面的域K上的空间，我们谈论的就是K-线性映射。

二维空间R²的线性变换的一些特殊情况有：

恒等映射(在数学里，恒等函数为一无任何作用的函数：它总是传回和其输入值相同的函数值。换句话说，恒等函数为函数f(x)=x)和零映射是线性的。

两个线性映射的复合映射是线性的。

若线性映射可逆，则该线性映射的逆也是线性映射。

以上内容主要摘自维基百科： 线性函数  线性关系  线性无关  线性映射