有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
以下粘贴的源代码。
int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a,int b)
{
if(a>=b)
return a;
else return b;
}
int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
{
int i,j;
for(i=0;i<=n;i++)
V[i][0]=0;
for(j=0;j<=C;j++)
V[0][j]=0;
for(i=0;i<=n-1;i++)
for(j=0;j<=C;j++)
if(j<w[i])
V[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
j=C;
for(i=n-1;i>=0;i--)
{
if(V[i][j]>V[i-1][j])
{
x[i]=1;
j=j-w[i];
}
else
x[i]=0;
}
printf("选中的物品是:\n");
for(i=0;i<n;i++)
printf("%d ",x[i]);
printf("\n");
return V[n-1][C];
}
void main()
{
int s;//获得的最大价值
int w[15];//物品的重量
int v[15];//物品的价值
int x[15];//物品的选取状态
int n,i;
int C;//背包最大容量
n=5;
printf("请输入背包的最大容量:\n");
scanf("%d",&C);
printf("输入物品数:\n");
scanf("%d",&n);
printf("请分别输入物品的重量:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&w[i]);
printf("请分别输入物品的价值:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&v[i]);
s=KnapSack(n,w,v,x,C);
printf("最大物品价值为:\n");
printf("%d\n",s);
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