线性和非线性方程数值解法_数值分析计算方法-程序员宅基地
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线性和非线性方程数值解法_数值分析计算方法
插值与逼近_数值分析计算方法
0 绪论
1 非线性方程数值解法
1.1 二分法
使用的条件
- 区间首尾异号
- 区间内连续
- 仅有一个根
步骤
先判断是否满足使用的条件，再使用
误差限的计算
1.2 迭代法
单点迭代法
将 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0 改写成 x = ϕ ( x ) x=\phi(x) x=ϕ(x)，
建立迭代公式 x k + 1 = ϕ ( x k ) x_{k+1}=\phi(x_k) xk+1=ϕ(xk)，
在根附近任取一点 x 0 x_0 x0，若得到的序列收敛于 α \alpha α且 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)连续
多点迭代法
x k + 1 = ϕ ( x k − n + 1 , . . . , x k − 2 , x k − 1 , x k ) x_{k+1}=\phi(x_{k-n+1}, ..., x_{k-2}, x_{k-1}, x_k) xk+1=ϕ(xk−n+1,...,xk−2,xk−1,xk)
迭代法的收敛性
全局收敛性：设 α \alpha α为 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的根，如果 ∀ x 0 ∈ [ a , b ] \forall x_0 \in [a, b] ∀x0∈[a,b] ，由迭代法产生的序列都收敛于根 α \alpha α， 则称该迭代法是全局收敛的；
局部收敛性：设方程 x = ϕ ( x ) x=\phi(x) x=ϕ(x)有根 α α α, 如果存在 α α α的某个邻域 Δ : ∣ x − α ∣ < δ \Delta: |x-\alpha| < \delta Δ:∣x−α∣<δ，对任意初值 x 0 ∈ Δ x_0 \in \Delta x0∈Δ，迭代过程所产生的序列均收敛于根 α α α，则称该迭代法是局部收敛的。
迭代过程的收敛速度
D e f . Def. Def. 记 e k = α − x k e_k=\alpha-x_k ek=α−xk，若 lim k → ∞ ∣ e k + 1 ∣ ∣ e k ∣ p = C ≠ 0 \displaystyle \lim_{k \to \infty}\frac{|e_{k+1}|}{|e_k|^p}=C\neq0 k→∞lim∣ek∣p∣ek+1∣=C=0，则称迭代过程是p阶收敛的；
特别地，当p=1时，称为线性收敛;
当p>1时，称为超线性收敛，
当p=2时，称为平方收敛.
迭代过程的效率指数
D e f . Def. Def. E I = p 1 θ EI=p^{1 \over \theta} EI=pθ1
为效率指数. 其中 p p p表示迭代的收敛阶， θ \theta θ表示每步迭代的计算量.
E I EI EI越大，计算效率越高.
1.2.1 不动点迭代法
T h 1.1 Th1.1 Th1.1 设 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)满足：
1）当 x ∈ [ a , b ] x\in[a, b] x∈[a,b]时， ϕ ( x ) ∈ [ a , b ] \phi(x)\in[a, b] ϕ(x)∈[a,b]；
2） ∀ x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] \forall x_1, x_2 \in [a, b] ∀x1,x2∈[a,b]，有 ∣ ϕ ( x 1 ) − ϕ ( x 2 ) ∣ ≤ L ∣ x 1 − x 2 ∣ , L < 1 |\phi(x_1)-\phi(x_2)| \leq L|x_1-x_2|,L<1 ∣ϕ(x1)−ϕ(x2)∣≤L∣x1−x2∣,L<1，
则对任意初值 x 0 ∈ [ a , b ] x_0\in[a,b] x0∈[a,b]，迭代过程 x k + 1 = ϕ ( x k ) x_{k+1}=\phi(x_k) xk+1=ϕ(xk)收敛于 x = ϕ ( x ) x=\phi(x) x=ϕ(x)在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上的唯一根 ，且有误差估计式： ∣ α − x k ∣ ≤ L 1 − L ∣ x k − x k − 1 ∣ |\alpha-x_k|\leq \frac L {1-L}|x_k-x_{k-1}| ∣α−xk∣≤1−LL∣xk−xk−1∣ ∣ α − x k ∣ ≤ L k 1 − L ∣ x 1 − x 0 ∣ |\alpha-x_k|\leq \frac {L^k} {1-L}|x_1-x_0| ∣α−xk∣≤1−LLk∣x1−x0∣
T h 1.2 Th1.2 Th1.2 设 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上具有一阶导数，且
1）当 x ∈ [ a , b ] x\in [a,b] x∈[a,b]时，有 ϕ ( x ) ∈ [ a , b ] \phi(x)\in[a,b] ϕ(x)∈[a,b]；
2） ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x \in [a,b] ∀x∈[a,b]，有 ∣ ϕ ′ ( x ) ∣ ≤ L < 1 |\phi'(x)| \leq L < 1 ∣ϕ′(x)∣≤L<1，
则对任意初值 x 0 ∈ [ a , b ] x_0\in[a,b] x0∈[a,b]，迭代过程 x k + 1 = ϕ ( x k ) x_{k+1}=\phi(x_k) xk+1=ϕ(xk)收敛于 x = ϕ ( x ) x=\phi(x) x=ϕ(x)在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上的唯一根。
T h 1.3 Th1.3 Th1.3 若 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)在方程 x = ϕ ( x ) x=\phi(x) x=ϕ(x)的根 α \alpha
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