多元正态分布的四种定义_Yan_nnnnnn的博客-程序员秘密_多元正态分布的定义

技术标签: 多元统计分析  


多元正态分布的四种定义

标准定义外,还可以用特征函数充要性质标准正态分布性质来定义。


一、标准定义

p p p 维随机向量 X = ( X 1 , X 2 , … , X p ) ′ X=\left(X_1,X_2,…,X_p\right)' X=(X1,X2,,Xp) 的概率密度函数为 f ( x 1 , x 2 , . . . , x p ) = 1 ( 2 π ) p / 2 ∣ Σ ∣ 1 / 2 e x p [ − 1 2 ( x − μ ) ′ Σ − 1 ( x − μ ) ] f(x_1,x_2,...,x_p)=\frac{1}{(2\pi)^{p/2}{|\Sigma|}^{1/2}}exp\left[-\frac{1}{2}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)\right] f(x1,x2,...,xp)=(2π)p/2Σ1/21exp[21(xμ)Σ1(xμ)]其中 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x p ) ′ x=(x_1,x_2,...,x_p)' x=(x1,x2,...,xp) μ \mu μ p p p 维向量, Σ \Sigma Σ p p p 阶正定矩阵,则称 X X X 服从 p p p 元正态分布,也称 X X X p p p 维正态随机向量,简记为 X ∼ N p ( μ , Σ ) X{\sim}N_p(\mu,\Sigma) XNp(μ,Σ)

显然,当 p = 1 p=1 p=1 时,即为一维正态分布密度函数。

可以证明, μ \mu μ X X X 的均值(向量), Σ \Sigma Σ X X X 的协差阵。

二、特征函数

p p p 维随机向量 X X X 的特征函数为 ϕ ( t ) = e x p [ i t T μ − t T Σ t 2 ] , Σ ≥ 0 \phi(t)= exp\left[i t^T\mu-\frac{t^T\Sigma t}{2}\right],\Sigma \ge 0 ϕ(t)=exp[itTμ2tTΣt],Σ0则称 X X X 服从 p p p 维正态分布,记为 X ∼ N p ( μ , Σ ) X{\sim}N_p(\mu,\Sigma) XNp(μ,Σ)

三、充要性质

p p p 维随机向量 X X X p p p 个分量的任意线性组合服从一元正态分布,即 ∀ α ∈ R p {\forall} {\alpha} {\in} R^p αRp,有 α T X {\alpha}^TX αTX 为一元正态随机变量,则称 X X X p p p 维正态随机向量。

四、标准正态分布性质

X = ( X 1 , X 2 , … , X q ) ′ X=(X_1,X_2,…,X_q)' X=(X1,X2,,Xq) X 1 , . . . X q X_1,...X_q X1,...Xq 独立且都服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1) X 1 , . . . X q X_1,...X_q X1,...Xq 的线性组合为
Y = [ Y 1 ⋮ Y p ] = A p × q [ X 1 ⋮ X q ] + μ p × 1 Y= \begin{bmatrix} Y_1 \\ \vdots \\ Y_p \end{bmatrix} =A_{p \times q} \begin{bmatrix} X_1 \\ \vdots \\ X_q \end{bmatrix} +\mu_{p\times1} Y=Y1Yp=Ap×qX1Xq+μp×1
μ \mu μ p p p 维常数矩阵, A A A p × q p\times q p×q 常数矩阵,称 Y Y Y p p p 维正态随机向量,记为 Y ∼ N p ( μ , Σ ) Y{\sim}N_p(\mu,\Sigma) YNp(μ,Σ)


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