信道参数

大尺度衰落

功率时延谱PDP（Power Delay Profile）：时延上的功率大小，通过对信道冲激响应CIR(Channel Impulse Response)进行时域上的平均处理后进行求平方获得。

具体而言，将有效的多径分量能量相加，取对数之后，再叠加上收发端的天线增益，就能得到相应的路径损耗。具体由式计算得到，单位为dB。其中，$G_{Tx}$和$G_{Rx}$分别代表发送端和接收端的天线增益。
$$PL=-10\log (\sum _i|P({\tau }_i)|)+G_{Tx}+G_{Rx}$$
不过，一般大尺度衰落模型建模为单斜率的对数距离模型
$$PL(d)={PL}_0+10n\cdot \log d+X_{\sigma }$$
其中$P{L}_0$代表截距。$d$是发送端和接收端之间的距离，$n$是路径损耗指数，反映了路径损耗随距离的增长情况,阴影衰落$X_{\sigma }\sim N(0,\sigma )$

时延域参数

在宽带移动通信系统中，由于多径传播环境的影响，造成了传输信号在时延域上的色散。尤其在正交频分复用OFDM系统设计和关键技术的研究中，时延扩展或者最大相对时延决定了它的循环前缀CP长度，其中时延扩展参数是统计意义上的时延参数，一般将时延扩展的2到4倍，取定为CP长度。经验数据表明，高达90%的多径分量都包含在3倍的时延扩展域内。并且，最大相对时延依赖于PDP划分的功率阈值，因此一般需要指定识别多径分量时该阈值的大小。此外，与时延扩展相对应的相干带宽，对于OFDM系统频域导频密度和子载波间隔的设计也具有重要意义。

平均相对时延：定义为功率时延谱的一阶矩，表示多径分量相对第一径的平均传播时延
$${\tau }_{mean}=\frac{{\sum }_{i}P({\tau }_i)\cdot {\tau }_i}{{\sum }_{i}P({\tau }_i)}$$
均方根（RMS）时延扩展：功率时延谱的二阶矩阵的平方根，表征多径信号能量在时延域的色散程度，量化无线信道的时间扩展程度
$${\tau }_{\mathrm{r}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^N({\tau }_i-\overline{\tau }{)}^{2}P({\tau }_i)}{{\sum }_{i=1}^{N}P({\tau }_i)}}$$
其中$\overline{\tau }$为平均时延
$$\overline{\tau }=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}P({\tau }_i){\tau }_i}{{\sum }_{i=1}^{N}P({\tau }_i)}$$
最大相加时延：最大附加时延表示高于阈值的多径分量，从最后一径到第一径的相对时延，与信号在无线环境中传播的绝对时延无关。

计算完平均相加时延、RMS时延扩展和最大相对时延三个时延参数后，通常还需要对其分布进行相应的统计。此外，大量文献表明平均时延和根均方时延扩展之间存在线性关系，如下式，其中$a$表示根均方时延扩展随平均时延的变化程度。随着$a$的增大，传播环境中存在更多的散射体，接收端将会收到更多不同的多径分量。
$${\tau }_{rms}=a\cdot \overline{\tau }+b$$

空域参数

角功率分布：功率角分布将相对信号强度表征为发射角和到达角的函数。AOA和AOD的每种组合都对应与空间中可分辨的路径。功率功率分布（角度功率谱，Power Azimuth Spectrum）记录空间功率分布，可以直观地反应功率在空域的色散情况。

角度扩展：定义为功率角度谱的二阶矩。用来描述多径信号在角度和衰落两个维度下的统计特性，能够表征多径信号在角度维度下的色散程度，与时延扩展类似，定义为的均方根值。
$$A_s=\sqrt{\frac{{\int }_0^{\infty }(\theta -\overline{\theta })P(\theta )d\theta }{{\int }_0^{\infty }P(\theta )d\theta }}$$
交叉极化鉴别度（XPD）：定义为同极化天线接收信号与交叉极化天线接收功率的比值，用来表征交叉极化天线性能。不同测量环境测量得到的XPD均值从0到18dB变化不等，标准差在3-8dB之间波动。

多普勒频移：时变性在移动通信系统中的具体体现之一就是多普勒频移（Doppler shift），即单一频率信号经过时变衰落信道之后会呈现为具有一定带宽和频率包络的信号，这又可以称为信道的频率弥散性

相干时间是信道冲激响应维持不变的时间间隔的统计平均值。换句话说，相干时间就是指一段时间间隔，在此间隔内，两个到达信号有很强的幅度相关性。相干时间是多普勒频移的倒数，$$T_c=1/v_l$$。

定义相干时间一般是用来划分时间非选择性衰落信道和时间选择性衰落信道，或叫慢衰落信道和快衰落信道的量化参数。如果基带信号带宽的倒数，一般指符号宽度大于无线信道的相干时间，那么信号的波形就可能会发生变化，造成信号的畸变，产生时间选择性衰落，也成为快衰落；反之，如果符号的宽度小于相干时间，则认为是非时间选择性衰落，即慢衰落。

毫米波信道建模

低频信道与毫米波信道的区别

低频信道由于散射路径丰富，往往建模成随机信道比如瑞利分布，因此并不包含通信环境的信息。

毫米波传播特征之一的高自由空间路径损耗导致有限的空间选择性或散射，与低频信道不同，由于毫米波基本沿直线传播，绕射能力差，其信道的散射路径较少，往往远少于发射和接收天线的数量，因此其信道模型具有丰富的几何特征。类似地，毫米波收发机所特有的大而紧凑的天线阵列会导致高水平的天线相关性。稀疏散射环境中紧密排列阵列的这种组合使得传统MIMO分析中使用的许多统计衰落分布对于毫米波信道建模不准确。因此，一般采用基于扩展Saleh-Valenzuela模型的窄带集簇信道表示，能够准确地捕捉毫米波信道中存在的几何特征。毫米波信道的稀疏性和天线的方向性可以进一步减小多径分量角扩展。在进行OFDM调制时确保足够的子载波间隔可以解多普勒效应引起的载波间干扰。

莱斯$K$因子是视距传播功率与非视距传播功率和的比值，表征信道衰落程度
$$K_F=10\lg \frac{P_s}{\sum P_{\mathrm{r}}}$$

毫米波信道具有稀疏性。时延扩展很小说明传输距离较近（也可以解释径的数量较少）、K因子很大说明是LOS场景，LOS场景下通信以LOS径进行通信，LOS径占了90%甚至95%~98%的功率。

Rx位置处的信道参数，如均方根时延扩展、莱斯K因子、角度扩展与太赫兹频率、极化方式的关系如图所示.可知，随着频率的增加，均方根时延扩展和角度扩展减小，莱斯K因子增大.这表明随着频率的增加，多路径信号能量在时域和角度域的色散程度减弱，多路径效应减弱.其原因是：随着频率的增加，LOS路径和NLOS路径的能量都在减弱，且NLOS路径的能量下降大于LOS路径；此外，一些到达接收器的NLOS路径的信号幅度低于接收器的检测灵敏度，无法被检测到，这导致了NLOS路径能量进一步降低.在整个太赫兹频率范围内，对于任意的Rx位置，TE波的均方根时延扩展、角度扩展大于TM波，但莱斯K因子小于TM波.原因是对于LOS路径，TE波和TM波的路径损耗一样，但是对于NLOS路径，TE波的路径损耗小于TM波

不同条件下的S-V信道模型

S-V模型的时变脉冲响应为
$$h(t)=\sum _{l=1}^L{a}_l{e}^{j{\varphi }_l(t)}\delta (t-{\tau }_l)$$
式中，$a_l、{\varphi }_l$和${\tau }_l$分别表示第$l$个多径分量的时变振幅、相位和延迟，$L=N_{cl}{N}_{ray}$。

对于一个$N_t$个发射天线和$N_r$个接收天线的毫米波MIMO系统，频域的时变信道冲激响应为
$$\mathbf{H}(t,f)=\sqrt{\frac{N_t{N}_r}{L}}\sum _{l=1}^L{\alpha }_l{e}^{j2\pi (v_{l}t-{\tau }_{l}f)}{\mathbf{a}}_r({\theta }_{r,l},{\varphi }_{r,l}){\mathbf{a}}_t^{\mathrm{H}}({\theta }_{t,l},{\varphi }_{t,l})$$
${\alpha }_l$是每条多径分量的复信道增益，包括大尺度衰落和小尺度衰落。${\tau }_l$和$v_l$分别为多径分量的时延和多普勒频移。

假设信道广义平稳非相关散射（WSSUS），多普勒频移很小，此时表达式为
$$\mathbf{H}(f)=\sqrt{\frac{N_t{N}_r}{L}}\sum _{l=1}^L{\alpha }_l{e}^{-j2\pi {\tau }_{l}f}{\mathbf{a}}_r({\theta }_{r,l},{\varphi }_{r,l}){\mathbf{a}}_t^{\mathrm{H}}({\theta }_{t,l},{\varphi }_{t,l})$$
若带宽足够小，则时延也可省略，窄带S-V信道模型表达式如下
$$\begin{array}{rl}\mathbf{H}& =\sqrt{\frac{N_t{N}_r}{N_{cl}{N}_{ray}}}\sum _{i,l}{\alpha }_{i,l}{\mathbf{a}}_{\mathrm{r}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{r}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{r}}){\mathbf{a}}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{H}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{t}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{t}})\\ & =\gamma {\mathbf{A}}_{\mathrm{r}}\mathbf{G}{\mathbf{A}}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{H}}\end{array}$$

扩展的窄带S-V信道模型为
$$\mathbf{H}=\sqrt{\frac{N_t{N}_r}{N_{cl}{N}_{ray}}}\sum _{i,l}{\alpha }_{i,l}{\Lambda }_{\mathrm{r}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{r}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{r}}){\Lambda }_{\mathrm{t}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{t}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{t}}){\mathbf{a}}_{\mathrm{r}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{r}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{r}}){\mathbf{a}}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{H}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{r}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{r}})$$
式中，归一化因子$\gamma =\sqrt{\frac{NtNr}{NclNray}}$和${\alpha }_{i,l}$是第$i$个散射簇中第$l$条射线的信道复增益，而${\varphi }_{i,l}^{\mathrm{t}}({\theta }_{i,l}^{\mathrm{t}})$和${\varphi }_{i,l}^{\mathrm{r}}({\theta }_{i,l}^{\mathrm{r}})$分别是其离开和到达的方位角（仰角）。函数${\Lambda }_{\mathrm{t}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{t}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{t}})$和${\Lambda }_{\mathrm{r}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{r}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{r}})$表示在相应的离开角和到达角下的发射和接收天线阵元增益。最后，向量${\mathbf{a}}_{\mathrm{t}}({\varphi }_{\mathbf{i},\mathbf{l}}^{\mathrm{r}},{\theta }_{\mathbf{i},\mathbf{l}}^{\mathrm{r}})$和${\mathbf{a}}_{\mathrm{r}}({\varphi }_{\mathbf{i},\mathbf{l}}^{\mathrm{r}},{\theta }_{\mathbf{i},\mathbf{l}}^{\mathrm{r}})$分别为方位角（仰角）为${\varphi }_{i,l}^{\mathrm{t}}({\theta }_{i,l}^{\mathrm{t}})$和${\varphi }_{i,l}^{\mathrm{r}}({\theta }_{i,l}^{\mathrm{r}})$的归一化接收和发射阵列响应向量。
而对于宽带S-V信道，由于信道在频域上具有相关性，不考虑阵元增益，第$k$个子载波上的信道可以表示为
$$\mathbf{H}[k]=\sqrt{\frac{N_t{N}_r}{N_{cl}{N}_{ray}}}\sum _{i=1}^{N_{cl}}\sum _{l=1}^{N_{ray}}{\alpha }_{i,l}{\mathbf{a}}_{\mathrm{r}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{r}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{r}}){\mathbf{a}}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{H}}({\varphi }_{i,l}^{\mathrm{r}},{\theta }_{i,l}^{\mathrm{r}})e^{-j2\pi ik/K}$$
$K$为宽带上的子载波数。

空域参数生成

针对WSSUS窄带S-V信道模型，在ULA和UCA中，尽管AOA/AOD在三维空间上有物理分布，但信道测量已经证明，大部分能量都集中在仰角上。UPA中引入方位角进一步描述多径分量的几何分布。

导向矢量的生成有很多优秀的博客，可以参考智能反射面| 关于UPA信道建模_B417科研笔记的博客-程序员宅基地，导向矢量的表达式根据天线阵列平面和坐标的选择会变化，但没有本质区别。本文主要总结AOA和AOD的生成，论文中提及的随机分布有均匀分布、正态分布和拉普拉斯分布。经典文章Spatially Sparse Precoding in Millimeter Wave MIMO Systems中使用了均匀分布和拉普拉斯分布两种方法，并且提及在多个场景下的测量发现拉普拉斯分布更适合描述各种传播环境。

均匀分布

方位角的范围可设置$[-\pi ,\pi )$，仰角的范围可设置$[-\pi /2,\pi /2]$。

matlab中生成均匀分布随机数的函数为unifrnd(a,b)，a和b可以是标量或向量，需要安装Statistics and Machine Learning工具箱。

拉普拉斯分布

信道测量的验证来自文章Wireless indoor channel modeling: statistical agreement of ray tracing simulations and channel sounding measurements

原理参考文章Simplified Spatial Correlation Models for Clustered MIMO Channels With Different Array Configurations，AOA/AOD的角度功率谱服从截断拉普拉斯分布，由于matlab本身没有拉普拉斯分布的随机数生成函数，需要用逆变换采样法生成，简单来说就是CDF的逆函数。下面给出$[-\pi ,\pi )$和$[-\pi /2,\pi /2]$两种截断拉普拉斯分布的角度功率谱，其他范围可以自己算，数学fw（比如我）可以用Wolfram的Mathematica计算

FullSimplify[PDF[d, x]/Probability[-\[Pi]/2 < x < \[Pi]/2, x \[Distributed] d]] /.  d -> LaplaceDistribution[0, b/sqrt(2)]

$$\begin{gathered} P_{\varphi }(\varphi )=\{\begin{array}{ll}\frac{\beta }{\sqrt{2}{\sigma }_{\varphi }}\cdot e^{|\sqrt{2}\varphi /{\sigma }_{\varphi }|},& \varphi \in [-\pi ,\pi )\\ 0,& 其他\end{array} \\ \beta =\frac{1}{1-e^{-\sqrt{2}\pi /{\sigma }_{\varphi }}} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} P_{\varphi }(\varphi )=\{\begin{array}{ll}\frac{\beta }{\sqrt{2}{\sigma }_{\varphi }}\cdot e^{|\sqrt{2}\varphi /{\sigma }_{\varphi }|},& \varphi \in [-\pi /2,\pi /2]\\ 0,& 其他\end{array} \\ \beta =\frac{1}{1-e^{-\pi /\sqrt{2}{\sigma }_{\varphi }}} \end{gathered}$$

其中，$\varphi$是描述AOA和AOD关于均值${\varphi }_0$的偏移量的随机变量，${\sigma }_{\varphi }$为角度扩展，$\beta$为归一化因子。