【轨迹生成】参数化最优控制 约束-控制-图形参数_轨迹 时间参数化_BRAND-NEO的博客-程序员秘密

技术标签： 运动规划  算法  

Reactive Nonholonomic Trajectory Generation via Parametric Optimal Control

Alonzo Kelly
Bryan Nagy

目录

1. 车辆的运动模型

  • 车辆运动描述
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  • 车辆状态
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  • 控制输入–决定速度和曲率变化
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  • 换元得到距离s的函数
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2. 轨迹最优化问题

给定起点、目标点的状态（包括位姿、曲率，也可以包括速度）等，找到一个合适的控制输入，产生相应的轨迹，且轨迹需要满足动态模型的约束、且不触碰障碍物。这样的控制输入可能不存在，也可能存在，甚至存在多个，那么需要从多个合乎要求的控制输入中找到最优控制。


3. 最优化控制公式

  • 非线性系统运动方程
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  • 评估函数，可以看出它与末状态及整条路径的情况有关，我们的最优化问题实际上是使J函数最小化
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  • 起点和目标点需要满足的约束
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  • 控制输入有界，其变化速度也有界，约束如下
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4. 问题转化–服从约束条件的最优解

  • 引入参数p，p为和轨迹形状相关的一系列参数，那么它自然将决定各时刻的控制输入，即
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  • 由于控制u将决定状态x，且二者共同决定 x ˙ \dot x x˙，那么此时 x ˙ \dot x x˙将由参数p决定
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  • 将起点与目标点（甚至可以使轨迹上的一系列指定要到达的点）称为边界状态，由初始状态加上 x ˙ \dot x x˙的积分得到，其值需要与我们的要求（表示为 x b ， x_b， xb​，向量）相等
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  • 将上式变形如下，得到边界条件约束的标准形式
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  • 那么轨迹最优化可以公式化描述如下，即服从g=0约束条件下的J函数最小化问题（且参数p有界）
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  • 换元，q是包含p和s的向量，进一步地，上述最优化公式可以写为
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5. 拉格朗日乘数法求解–有约束条件的多元函数极值

  • 用J和约束g构造构造拉格朗日函数
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  • 极值条件需要满足H对q和λ的偏导数之和=0
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  • 上式变形（f(x)=0=>f(x)+f’(x)△x=0）
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  • 矩阵形式
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  • 实际上相当于令J对q的偏导数和g对q的偏导数分别=0，前者体现无约束条件的最优化，后者体现约束条件。


6. 例:螺旋曲线Clothoids 和多项式曲线Polynomial Spirals

  • 螺旋曲线
    可以发现，当产生螺旋曲线式的轨迹时，有两个参数a、b，当s=0即起始点处，曲率为a，随着s的增大，曲率以b的速度增加。然而这样的曲线参数太少，当给定了起点的曲率和目标点位置时，无法保证目标点处的曲率满足要求，甚至连朝向都不一定能满足。
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  • 多项式曲线
    多项式曲线的参数更多，可以满足更多的边界条件
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给出控制的形式后，很容易通过积分运算得到朝向、x、y随s的变化（这里默认起点位置0,0，朝向0）
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假设我们总共需要满足的边界条件有8个：
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而在通过积分构造，默认 x 0 、 y 0 、 Θ 0 = 0 x_0、y_0、Θ_0=0 x0​、y0​、Θ0​=0，故前三个约束是自然满足的，还剩五个约束需要去满足，即 k 0 、 x f 、 y f 、 Θ f 、 k f k_0、x_f、y_f、Θ_f、k_f k0​、xf​、yf​、Θf​、kf​

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而恰好有五个参数
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首先考虑 k 0 k_0 k0​，将s=0带入k(s)，即可得到，要满足 k 0 k_0 k0​的约束只需

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对于剩下四个边界条件：
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7. 评价函数J的设计

1) 边界条件可以不作为约束，而体现在J中

对于轨迹上某个点的要求，体现在 ϕ \phi ϕ函数的设计上
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2) 希望轨迹更平滑

对于整条轨迹的要求，体现在L函数上
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