最近在看关于CSI(Channel State Information)相关的论文，发现论文中用到了QQ-plot。Sigh！我承认我是第一次见到这个名词，异常陌生。维基百科给出了如下定义：
“在统计学中，QQ-plot(Q代表分位数Quantile)是一种通过画出分位数来比较两个概率分布的图形方法。首先选定区间长度，点(x,y)对应于第一个分布(x轴)的分位数和第二个分布(y轴)相同的分位数。因此画出的是一条含参数的曲线，参数为区间个数。如果被比较的两个分布比较相似，则其QQ图近似地位于y=x上。如果两个分布线性相关，则QQ图上的点近似地落在一条直线上，但并不一定是y=x这条线。QQ图同样可以用来估计一个分布的位置参数。”
这段话刚开始看的时候，的确不是很清楚，难以理解。我也在网上找了一些资料，最有用的当属网上的一本在线电子书《Online Statistics Education: An Interactive Multimedia Course of Study》，里面的Chanpter8专门有讲解QQ-plot。本文中主要借鉴了这门书中的内容，以更浅显易懂的语言来讲清楚QQ-plot，我学习的过程中也用Matlab做了一些试验，文中将代码一并附上。
QQ-plot其实是Quantile-Quantile Plot的缩写，Quantile分位现在理解没有关系，看到最后你就会理解它的意思了。QQ-plot的目的是什么呢？是为了验证两组数据的分布是否相同或者相似，因此在实际中很多情况都会用到。为了讲清楚QQ-plot，我们先来介绍另外两种以图形的方式评价数据分布情况的方法：直方图(histogram)和 经验累积分布函数(empirical cumulative distribution function, eCDF)。
我们考虑一个随机变量X服从[0,1]区间内均匀分布，我们任取n个数据{ x1,x2...,xn x1,x2...,xn }。本例中n=100，直方图频率分布如图1所示。直方图的概率分布与bins的个数有关(bins为10,5,3)。不同的bins对应的图形也不同，图bins=10的时候还呈现锯齿状，但是bins=3的时候就趋于平稳，所以根据直方图来看累积分布不是很靠谱。随后，我们又使用eCDF对数据进行分析，如图2所示。黄色部分即为eCDF与理论CDF的误差，根据大数定理，当n取值越大，误差越小。
图1. 直方图统计
图2. eCDF vs 理论CDF
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data = unifrnd(0,1,1,100)';
%生成100个再[0,1]均匀分布的随机数
figure
subplot(3,1,1);
hist(data,10);
%bins=10
xlabel(
'x'
);
ylabel(
'Frequency'
);
subplot(3,1,2);
hist(data,5);
%bins=5
xlabel(
'x'
);
ylabel(
'Frequency'
);
subplot(3,1,3);
hist(data,3);
%bins=3
xlabel(
'x'
);
ylabel(
'Frequency'
);
theory_y=data;
figure
[F,X]=ecdf(data);
%ECDF
plot(X,F,
'-k'
,
'LineWidth'
,3);
hold on;
plot(data,theory_y,
'-b'
,
'LineWidth'
,3);
legend(
'Empirical CDF'
,
'Theoretical CDF'
,2);
hold on;
%------两曲线之间填充颜色-------
theory_y=sort(theory_y);
theory_y=[theory_y(1);theory_y];
%Note:100数据进行ECDF会产生101个数的ECDF坐标，因此为了填充颜色，这里更改theory_y的维数
fill([X
',fliplr(X'
)],[theory_y
',fliplr(F'
)],
'y'
);
xlabel(
'x'
);
ylabel(
'F(x)'
);
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好了，到现在开始要说QQ-plot了。我们用如下两个例子来说明:QQ-plot for 平均分布 & QQ-plot for 正态分布。
QQ-plot for 平均分布：
Sample中有n个数据， x1,x2,...,xn x1,x2,...,xn 。我们首先对数据进行排序，使之满足 x1<x2<...<xn x1<x2<...<xn 。我们将x所在区间[0,1]进行n等分。即变为 [0,1n],(1n,2n],...,(n−1n,1] [0,1n],(1n,2n],...,(n−1n,1]n个自区间。为了符合平均分布，我们期望第q个数据的值坐落在第q个子区间的中间值，也就是
现在我们可以理解Quantile-Quantile(q-q) Plot了，第1个Q是Data Sample的分位即 x1,x2,...,xn x1,x2,...,xn ；第2个Q便是期望 Eq Eq 。因此QQ-plot其实就是n个点的集合
因此在QQ-plot for平均分布中，当QQ点越接近y=x时，那么数据越接近平均分布。下面我们考虑表1中的5组数据，以及随机生成50个，500个，1000个数据的QQ-plot图，如图3所示。可以看出，当sample size越大，QQ-plot越接近y=x。
表1. Computing the Expected Quantile Values.
| Data (x) | Rank (q) | Middle of the qth Interval |
|---|---|---|
| 0.03 0.24 0.41 0.59 0.67 |
1 2 3 4 5 |
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 |
图3. QQplot for uniform data
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A=[0.03,0.24,0.41,0.59,0.67];
B=unifrnd(0,1,1,50);
C=unifrnd(0,1,1,500);
D=unifrnd(0,1,1,1000);
subplot(2,2,1);
gqqplot(A,
'unif'
);
title(
'Sample size n = 5'
);
subplot(2,2,2);
gqqplot(B,
'unif'
);
title(
'Sample size n = 50'
);
subplot(2,2,3);
gqqplot(C,
'unif'
);
title(
'Sample size n = 500'
);
subplot(2,2,4);
gqqplot(D,
'unif'
);
title(
'Sample size n = 1000'
);
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QQ-plot for 正态分布：
这个就简单了，跟上面是一样的道理。我们取Z为标准的正态分布， μ=0,σ=1 μ=0,σ=1 。现将n个数据进行排序，再做出相应的QQ-plot点的集合
同样我们给出了表2,5组正态分布的数据以及其相应的期望值。为了比较，我们也随机产生了n为50,500,1000的正态分布随机数进行QQ-plot，如图4所示。
表2. Computing the expected quantile values for normal data.
| Data (z) | Rank (q) | Middle of the qth Interval |
Normal(q) |
|---|---|---|---|
| -1.96 -.78 .31 1.15 1.62 |
1 2 3 4 5 |
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 |
-1.28 -0.52 0.00 0.52 1.28 |
图4. QQplot for normal data
代码如下：
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E=[-1.96,-0.78,0.31,1.15,1.62];
F=randn(1,50);
G=randn(1,500);
H=randn(1,1000);
subplot(2,2,1);
gqqplot(E,
'norm'
);
title(
'Sample size n = 5'
);
subplot(2,2,2);
gqqplot(F,
'norm'
);
title(
'Sample size n = 50'
);
subplot(2,2,3);
gqqplot(G,
'norm'
);
title(
'Sample size n = 500'
);
subplot(2,2,4);
gqqplot(H,
'norm'
);
title(
'Sample size n = 1000'
);
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好吧，到此为止，讲的差不多了，其实不难的。最后我们再来看一遍维基百科上对QQ-plot的定义：
“在统计学中，QQ-plot(Q代表分位数Quantile)是一种通过画出分位数来比较两个概率分布的图形方法。首先选定区间长度，点(x,y)对应于第一个分布(x轴)的分位数和第二个分布(y轴)相同的分位数。因此画出的是一条含参数的曲线，参数为区间个数。如果被比较的两个分布比较相似，则其QQ图近似地位于y=x上。如果两个分布线性相关，则QQ图上的点近似地落在一条直线上，但并不一定是y=x这条线。QQ图同样可以用来估计一个分布的位置参数。”
Sigh!应该理解了... 关于gqqplot函数的使用，请参考 http://ackjack.com/?p=56