前言

昨天学了一晚上，终于搞懂了FFT。希望能写一篇清楚易懂的题解分享给大家，也进一步加深自己的理解。
FFT算是数论中比较重要的东西，听起来就很高深的亚子。但其实学会了（哪怕并不能完全理解)，会实现代码，并知道怎么灵活运用 （背板子） 就行。接下来进入正题。

定义

FFT（Fast Fourier Transformation），中文名快速傅里叶变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
而在信奥中，一般用来加速多项式乘法。
朴素高精度乘法的时间为$O(n^2)$，但FFT能将时间复杂度降到 $O(nlo{g}_{2}n)$
学习FFT之前，需要了解一些有关复数和多项式的知识。

有关知识

多项式的两种表示方法

系数表示法

$F[x]=y=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+......a_n{x}^n$
{ $a_0,a_1,a_2,...,a_n$} 是这个多项式每一项的系数，所以这是多项式的系数表示法

点值表示法

在函数图像中，$F[x]$这个多项式可以被n个点唯一确定，即代入n个点作为$x$,分别解出对应的 $y$，得到n个式子。把这n条式子联立起来成为一个有n条方程的n元方程组，每一项的系数都可以解出来.（可类比二元一次方程）
也就是说，使用{ $(x_0,f[x_0])$,$(x_1,f[x_1])$,…,$(x_n,f[x_n])$}就可以完整描述出这个多项式,这就是 多项式的点值表示法

多项式相乘

设两个多项式分别为$f(x)$,$g(x)$,我们要把这两个多项式相乘 (即求卷积)。
如果用系数表示法:
我们要枚举$f$的每一位的系数与$g$的每一位的系数相乘，多项式乘法时间复杂度$O(n^2)$，这也是我们所熟知的高精度乘法的原理。
如果用点值表示法:
$f[x]$={ $(x_0,f[x_0])$,$(x_1,f[x_1])$,…,$(x_n,f[x_n])$}
$g[x]$={ $(x_0,g[x_0])$,$(x_1,g[x_1])$,…,$(x_n,g[x_n])$}
$f[x]\ast g[x]$={ $(x_0,f[x_0]\ast g[x_0])$,$(x_1,f[x_1]\ast g[x_1])$,…,$(x_n,f[x_n]\ast g[x_n])$}
我们可以发现，如果两个多项式取相同的$x$，得到不同的$y$值，那么只需要$y$值对应相乘就可以了！
复杂度只有枚举$x$的$O(n)$
那么问题转换为将多项式系数表示法转化成点值表示法。
朴素系数转点值的算法叫DFT（离散傅里叶变换）,优化后为FFT（快速傅里叶变换），点值转系数的算法叫IDFT（离散傅里叶逆变换），优化后为IFFT(快速傅里叶逆变换)。之后我会分别介绍。

卷积

其实不理解卷积也没关系，但这里顺便提一下，可以跳过的
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

$F(g(x)\ast f(x))=F(g(x))F(f(x))$

其中F表示的是傅里叶变换

复数

高中数学会详细讲解，知道的可以跳过这一部分，没学过也没关系，看以下内容应该能很清楚的理解。

1.定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。
复数$z$被定义为二元有序实数对$(a,b)$,记为$z=a+bi$,这里$a$和$b$是实数，规定$i$是虚数单位。 ($i^2=-1$ 即$i=\sqrt{-1}$)
对于复数$z=a+bi$。实数$a$称为复数z的实部(real part),记作$rez=a$.实数$b$称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.
当虚部等于零时，这个复数可以视为实数。
即当$b=0$时，$z=a$,这时复数成为实数；当且仅当$a=b=0$时，它是实数0；
当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
即当$a=0$且$b\ne 0$时，$z=bi$，我们就将其称为纯虚数。
将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作$\mid z\mid$。
即对于复数z=a+bi，它的模为$\mid z\mid =\sqrt{(a^2+b^2)}$

2.复数的几何意义

直接两张图搞定√ (应该可以一目了然)

3.运算法则

加法法则:$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;$
减法法则:$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;$
注：复数加减满足平行四边形法则：

乘法法则:$(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$
复数相乘一个重要法则：模长相乘，幅角相加。（这个定理很重要）
模长：这个向量的模长，即这个点到原点的距离。（不懂的可再看下向量的几何意义）。
幅角: 从原点出发、指向x轴正半轴的射线绕原点逆时针旋转至过这个点所经过的角。
在极坐标（可看成平面直角坐标系）下，复数可用模长r与幅角θ表示为$(r,\theta )$。对于复数$a+bi$,$r=\sqrt{(a²+b²)}$，$\theta =arctan(b/a)$。此时，复数相乘表现为模长相乘，幅角相加。
除法法则：$(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i$

4. 共轭复数

一个复数$z=a+bi$的共轭复数为$a-bi$（实部不变，虚部取反），记为 $\overline{z}=a-bi$
当复数模为1时（即|z|=1），与共轭复数互为倒数
证明：$z\ast \overline{z}=a^2-b^2\ast i^2=a^2+b^2=|z{|}^2=1$

FFT加速多项式乘法

由于多项式乘法用点值表示比用系数表示快的多，所以我们先要将系数表示法转化成点值表示法相乘，再将结果的点值表示法转化为系数表示法的过程。
第一个过程叫做FFT（快速傅里叶变换)，第二个过程叫IFFT（快速傅里叶逆变换）
在讲这两个过程之前，首先了解一个概念：

单位根

复数$\omega$满足${\omega }^n=1$，称$\omega$是n次单位根

怎么找单位根？

单位圆:圆心为原点、1为半径的圆
把单位圆n等分，取这n个点（或点表示的向量）所表示的复数（即分别以这n个点的横坐标为实部、纵坐标为虚部，所构成的虚数），即为n次单位根。
下图包含了当n=8时，所有的8次单位根，分别记为${\omega }_8^1,{\omega }_8^2.....,{\omega }_8^8$
(图中圆的半径是1，w表示$\omega$,且下标8已省略）
图是我自己画的，可能有点丑QWQ

由此我们知道如何找单位根啦
从点(1,0)开始（即${\omega }_n^1$）,逆时针将这n个点从0开始编号，第k个点对应的虚数记作${\omega }_n^k$
由复数相乘法则：模长相乘幅角相加​ 可得：
$({\omega }_n^1{)}^k={\omega }_n^k$
根据每个复数的幅角，可以计算出所对应的点/向量。${\omega }_n^k$ 对应的点/向量是$(cos\frac{k}{n}2\pi ,sin\frac{k}{n}2\pi )$，即为复数 $cos\frac{k}{n}2\pi +i\ast sin\frac{k}{n}2\pi$

单位根的性质

建议记住，因为对之后的分析很重要！！

1.${\omega }_n^k={\omega }_{2n}^{2k}$

2.${\omega }_n^k=-{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}$

3.${\omega }_n^0={\omega }_n^n=1$

至于怎么证明，就是复数相乘时模长相乘幅角相加的原则。或者你直接观察图也可以很显然的得出结论。​

DFT（离散傅里叶变换）

对于任意多项式系数表示转点值表示，例如$F[x]=y=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+......+a_n{x}^n$ ，可以随便取任意n个$x$值代入计算,但这样时间复杂度是$O(n^2)$
所以伟大数学家傅里叶取了一些特殊的点代入，从而进行优化。
他规定了点值表示中的$n$个$x$为$n$个模长为1的复数。这$n$个复数不是随机的，而是单位根。
把上述的n个复数（单位根）${\omega }_n^0,{\omega }_n^1.....,{\omega }_n^{n-1}$代入多项式，能得到一种特殊的点值表示，这种点值表示就叫DFT（离散傅里叶变换）。

FFT（快速傅里叶变换）

虽然DFT能把多项式转换成点值但它仍然是暴力代入$n$个数，复杂度仍然是O(n2)，所以它只是快速傅里叶变换的朴素版。
所以我们要考虑利用单位根的性质，加速我们的运算，得到FFT（快速傅里叶变换）
对于多项式 $A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{n-1}$
将A(x)的每一项按照下标的奇偶分成两部分：
$A(x)=a_0+a_2{x}^2+...+a_{n-2}{x}^{n-2}+x\ast (a_1+a_3{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{n-2})$
设两个多项式 $A_0(x)$和$A_1(x)$，令：
$A_0(x)=a_0{x}^0+a_2{x}^1+...+a_{n-2}{x}^{n/2-1}$
$A_1(x)=a_1{x}^0+a_3{x}^1+...+a_{n-1}{x}^{n/2-1}$
显然，$A(x)=A_0(x^2)+x\ast A_1(x^2)$
假设$k<n$，代入$x={\omega }_n^k$（n次单位根）：
$A({\omega }_n^k)$$=A_0({\omega }_n^{2k})+{\omega }_n^k\ast A_1({\omega }_n^{2k})$
$=A_0({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)+{\omega }_n^k\ast A_1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$

$A({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})=A_0({\omega }_n^{2k+n})+{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}\ast A_1({\omega }_n^{2k+n})$
$=A_0({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)-{\omega }_n^k\ast A_1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$

考虑A1(x)和A2(x)分别在$({\omega }_{\frac{n}{2}}^1,{\omega }_{\frac{n}{2}}^2,{\omega }_{\frac{n}{2}}^3,...,{\omega }_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2}-1})$的点值表示已经求出，就可以O(n)求出A(x)在$({\omega }_n^1,{\omega }_n^2,{\omega }_n^3,...,{\omega }_n^{n-1})$处的点值表示。这个操作叫蝴蝶变换
而A1(x)和A2(x)是规模缩小了一半的子问题，所以不断向下递归分治。当n=1的时候返回。
注：这个过程一定要求每层都可以分成两大小相等的部分，所以多项式最高次项一定是2的幂，不是的话直接在最高次项补零QAQ。
时间复杂度$O(nlo{g}_{2}n)$

IFFT（快速傅里叶逆变换）

我们已经将两个多项式从系数表示法转化成点值表示法相乘后，还要将结果从点值表示法转化为系数表示法，也就是IFFT（快速傅里叶逆变换）
首先思考一个问题，为什么要把${\omega }_n^k$（单位根）作为x代入？
当然是因为离散傅里叶变换特殊的性质，而这也和IFFT有关。
一个重要结论
把多项式A(x)的离散傅里叶变换结果作为另一个多项式B(x)的系数，取单位根的倒数即${\omega }_n^0,{\omega }_n^{-1}.....,{\omega }_n^{1-n}$作为x代入B(x)，得到的每个数再除以n，得到的是A(x)的各项系数，这就实现了傅里叶变换的逆变换了。相当于在FFT基础上再搞一次FFT。
证明（个人觉得写的非常清楚，不想看的跳过吧）~~

设$(y_0,y_1,y_2,...,y_{n-1})$为多项式
$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{n-1}$的离散傅里叶变换。
设多项式$B(x)=y_0+y_{1}x+y_2{x}^2+...+y_{n-1}{x}^{n-1}$
把离散傅里叶变换的${\omega }_n^0,{\omega }_n^1.....,{\omega }_n^{n-1}$这n个单位根的倒数，即${\omega }_n^0,{\omega }_n^{-1}.....,{\omega }_n^{1-n}$作为x代入$B(x)$, 得到一个新的离散傅里叶变换$(z_0,z_1,z_2,...,zn-1)$
$z_k$=${\sum }_{i=0}^{n-1}{y}_i({\omega }_n^{-k}{)}^i$
=${\sum }_{i=0}^{n-1}({\sum }_{j=0}^{n-1}{a}_j\ast ({\omega }_n^i{)}^j)({\omega }_n^{-k}{)}^i$
=${\sum }_{j=0}^{n-1}{a}_j\ast ({\sum }_{i=0}^{n-1}({\omega }_n^i{)}^{j-k})$

当$j-k=0$时，${\sum }_{i=0}^{n-1}({\omega }_n^i{)}^{j-k}=n$
否则，通过等比数列求和可知：
${\sum }_{i=0}^{n-1}({\omega }_n^i{)}^{j-k}$=$\frac{({\omega }_n^{j-k}{)}^n-1}{{\omega }_n^{j-k}-1}$=$\frac{({\omega }_n^n{)}^{j-k}-1}{{\omega }_n^{j-k}-1}$=$\frac{1-1}{{\omega }_n^{j-k}-1}$=0
（因为${\omega }_n^n$=${\omega }_n^0$=1）
所以
$z_k$=$n\ast a_k$
$a_k$=$\frac{z_k}{n}$ ,得证。

怎么求单位根的倒数呢？
单位根的倒数其实就是它的共轭复数 。不明白的可以看看前面共轭复数的介绍
到现在你已经完全学会FFT了，但写递归还是可能会超时，所以我们需要优化

优化：迭代FFT

在进行FFT时，我们要把各个系数不断分组并放到两侧，一个系数原来的位置和最终的位置的规律如下。
初始位置：${\omega }_n^0$ ${\omega }_n^1$ ${\omega }_n^2$ ${\omega }_n^3$ ${\omega }_n^4$ ${\omega }_n^5$ ${\omega }_n^6$ ${\omega }_n^7$
第一轮后：${\omega }_n^0$ ${\omega }_n^2$ ${\omega }_n^4$ ${\omega }_n^6$|${\omega }_n^1$ ${\omega }_n^3$ ${\omega }_n^5$ ${\omega }_n^7$
第二轮后：${\omega }_n^0$ ${\omega }_n^4$|${\omega }_n^2$ ${\omega }_n^6$|${\omega }_n^1$ ${\omega }_n^5$|${\omega }_n^3$ ${\omega }_n^7$
第三轮后：${\omega }_n^0$|${\omega }_n^4$|${\omega }_n^2$|${\omega }_n^6$|${\omega }_n^1$|${\omega }_n^5$|${\omega }_n^3$|${\omega }_n^7$
“|”代表分组界限
把每个位置用二进制表现出来。位置x上的数，最后所在的位置是“x二进制翻转得到的数”，例如4(100）最后到了1（001）5(101)最后不变为5(101)，3(011)最后到了6(110)。
所以我们先把每个数放到最后的位置上，然后不断向上还原，同时求出点值表示就可以啦。
迭代版FFT就比之前的递归版快多了,真√$O(nlo{g}_{2}n)$绝妙算法

代码实现FFT

下面是本人写的FFT加速高精度乘法的代码（并有详细注释）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//complex是stl自带的定义复数的容器 
typedef complex<double> cp;
#define N 2097153
//pie表示圆周率π 
const double pie=acos(-1);
int n;
cp a[N],b[N];
int rev[N],ans[N];
char s1[N],s2[N];
//读入优化 
int read(){
    
	int sum=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){
    if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
    sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return sum*f;
}
//初始化每个位置最终到达的位置 
{
    
    int len=1<<k;
	for(int i=0;i<len;i++)
	rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
}
//a表示要操作的系数，n表示序列长度
//若flag为1，则表示FFT，为-1则为IFFT(需要求倒数） 
void fft(cp *a,int n,int flag){
     
    for(int i=0;i<n;i++)
	{
    
	 //i小于rev[i]时才交换，防止同一个元素交换两次，回到它原来的位置。 
	  if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(int h=1;h<n;h*=2)//h是准备合并序列的长度的二分之一
	{
    
	cp wn=exp(cp(0,flag*pie/h));//求单位根w_n^1 
	 for(int j=0;j<n;j+=h*2)//j表示合并到了哪一位
	 {
    
	  cp w(1,0);
	   for(int k=j;k<j+h;k++)//只扫左半部分，得到右半部分的答案
	   {
    
	     cp x=a[k];
	     cp y=w*a[k+h];
         a[k]=x+y;  //这两步是蝴蝶变换 
         a[k+h]=x-y;
         w*=wn; //求w_n^k 
	   }
	 }
	 }
	 //判断是否是FFT还是IFFT 
	 if(flag==-1)
	 for(int i=0;i<n;i++)
     a[i]/=n;
}
int main(){
    
	n=read(); 
	scanf("%s%s",s1,s2);
	//读入的数的每一位看成多项式的一项，保存在复数的实部 
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(double)(s1[n-i-1]-'0');
	for(int i=0;i<n;i++)b[i]=(double)(s2[n-i-1]-'0');
	//k表示转化成二进制的位数 
	int k=1,s=2;
 	while((1<<k)<2*n-1)k++,s<<=1;
	init(k);
	//FFT 把a的系数表示转化为点值表示 
    fft(a,s,1);
    //FFT 把b的系数表示转化为点值表示 
    fft(b,s,1);
    //FFT 两个多项式的点值表示相乘 
    for(int i=0;i<s;i++)
    a[i]*=b[i];
    //IFFT 把这个点值表示转化为系数表示 
    fft(a,s,-1);
    //保存答案的每一位(注意进位） 
    for(int i=0;i<s;i++)
    {
    
    //取实数四舍五入，此时虚数部分应当为0或由于浮点误差接近0
	ans[i]+=(int)(a[i].real()+0.5);
	ans[i+1]+=ans[i]/10;
	ans[i]%=10;
	}
	while(!ans[s]&&s>-1)s--;
	if(s==-1)printf("0");
	else
	for(int i=s;i>=0;i--)
	printf("%d",ans[i]);
	return 0;
}

后记

这篇博客写了一天，终于写完了，完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿
FWT我来啦！！！