贝塞尔曲线的原理（BezierCruve）

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这里就不介绍推导过程了，值得注意的是文章中的线段都是矢量，然后线段都可以被拆分成两个坐标的差来表示$$AB=B-A$$一开始看有点蒙蔽，代入这个等式后，之后所有的推导都可以理解。这里就直接介绍一下结论$$P_i^k(t)=\{\begin{array}{ll}{P}_i(t)& \text{k=0}\\ (1-t)P_i^{k-1}(t)+t{P}_{i+1}^{k-1}(t),& \text{k=1,2,3…n;i=0,1,2…n-k}\end{array}$$原文中的介绍没有带t，一开始以为$P_i^k$是常量，觉得十分诡异，后来重新看了下推导过程，其实都是变量，这里补上自变量t，并且这里的$k$不是指k次方的意思，是指第k阶，可以理解为一个区分开来的不同阶数的上标。

贝塞尔曲线的理解

首先从结果的公式上来看

1. 一条贝塞尔至少要有两个控制点（此时的贝塞尔曲线为一条直线）

控制点: 当k等于0时，对应的$P_i^k(t)$,即输入点

2. 这是一条迭代公式，每次迭代都会少掉一个“点”。

“点”： 即$P_{i+1}$,可以看到每次的每次新迭代生成的$P_i^k(t)$都由$(1-t)P_i^{k-1}(t)+t{P}_{i+1}^{k-1}(t)$生成，所以第k次迭代的时候，只剩下n-k个点，即$i<=n-k$

3. 我们最终要得到的贝塞尔曲线是$P_0^n(t)$,所以迭代的终止条件便是i得最大值只能为1（因为从0开始计数），即$P_0^n(t)=(1-t)P_0^{n-1}(t)+t{P}_1^{n-1}(t)$
4. 贝塞尔曲线必然经过第一个控制点和最后一个控制点。

贝塞尔曲线的编程实现

1. 由于贝塞尔曲线本身的数学表达式便是一条递归式，所以决定采用递归的方式来实现。
2. 由于都是对点进行四则运算，直接采用opencv的数据结构，都已经重载好了，顺便可以用opencv来显示结果。
3. 当然如果不需要显示和不嫌麻烦的话，可以自己写Point2f这个结构，并且重载乘法运算符，也是可以实现的，那样就不用调用opencv了。

#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <vector>
using namespace cv;
using std::cout;
using std::endl;
using std::vector;
vector<Point2f> bezierCurve(vector<Point2f> src);
int main(int argc, char const* argv[])
{
    
   while (1) {
    
       vector<Point2f> path;
       CvRNG rng;
       rng = cvRNG(cvGetTickCount());
       for (int i = 1; i < 6; i++)
           path.push_back(Point2f(i * 800 / 6.0, cvRandInt(&rng) % 800));

       Mat img(800, 800, CV_8UC3);
       img = 0;
       for (int i = 0; i < path.size(); i++)
           circle(img, path[i], 3, Scalar(0, 0, 255), 3); //BGR
       vector<Point2f> bezierPath = bezierCurve(path);
       for (int i = 0; i < bezierPath.size(); i++) {
    
           //circle(img, bezierPath[i], 3, Scalar(0, 255, 255), 3); //BGR
           img.at<cv::Vec3b>(cvRound(bezierPath[i].y), cvRound(bezierPath[i].x)) = {
     0, 255, 255 };
       }
       imshow("black", img);
       if (waitKey(0) == 'q')
           break;
   }
   return 0;
}
vector<Point2f> bezierCurve(vector<Point2f> src)
{
    
   if (src.size() < 1)//这种情况是不允许出现的，出现只能证明程序出错了
       return src;
   const float step = 0.01;//采集100个点，即1.0/step
   vector<Point2f> res;
   if (src.size() == 1) {
    //递归结束条件，k=0
       for (float t = 0; t < 1; t += step)
           res.push_back(src[0]);//为了和其他情况保持一致，生成了1.0/step个一样的点
       return res;
   }
   vector<Point2f> src1;
   vector<Point2f> src2;
   src1.assign(src.begin(), src.end() - 1);//分成两部分，即Pi和Pi+1
   src2.assign(src.begin() + 1, src.end());
   for (int i = 0; i < src1.size(); i++)
       cout << src1[i] << endl;
   cout << endl;
   for (int i = 0; i < src2.size(); i++)
       cout << src2[i] << endl;
   cout << endl;
   vector<Point2f> pln1 = bezierCurve(src1);
   vector<Point2f> pln2 = bezierCurve(src2);
   for (float t = 0; t < 1; t += step) {
    
       Point2f temp;
       temp = (1.0 - t) * pln1[cvRound(1.0 / step * t)] + t * pln2[cvRound(1.0 / step * t)];
       res.push_back(temp);
   }
   return res;
}

实现效果