【编程马拉松算法目录】

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【019-一笔画】【工程下载>>>】

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1 题目描述

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　　咱们来玩一笔画游戏吧，规则是这样的：有一个连通的图，能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。

1.1 输入描述:

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　　输入包含多组数据。每组数据的第一行包含两个整数n和m (2≤n, m≤1000)，其中n是顶点的个数，m是边的条数。紧接着有m行，每行包含两个整数from和to (1 ≤ from, to ≤ n, from != to)，分别代表边的两端顶点。边是双向的，并且两个顶点之间可能不止一条边。

1.2 输出描述:

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　　对应每一组输入，如果能一笔画则输出“Yes”；否则输出“No”。

1.3 输入例子:

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3 3
1 2
2 3
1 3
4 7
1 2
2 1
1 3
1 4
1 4
2 3
4 3

1.4 输出例子:

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Yes
No

2 解题思路

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　　题目要求一个连通的有向图是否可以一笔画完。这是一个可行遍性问题，即从图中一个顶点出发不重复地遍历完所有的边并回到起始顶点，这种回路是欧拉回路。在解答该问题前先对欧拉回路相关的内容进行介绍。

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2.1 欧拉回路

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2.1.1 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图

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　　无向图：
　　1) 设G 是连通无向图，则称经过G 的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；
　　2) 如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路为欧拉回路（Euler circuit）；
　　3) 具有欧拉回路的无向图G 称为欧拉图（Euler graph）。
有向图：
　　1) 设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅一次的有向路径为有向欧拉通路；
　　2) 如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为有向欧拉回路（directed Euler circuit）；
　　3) 具有有向欧拉回路的有向图D称为有向欧拉图（directed Euler graph）。
　　图1是有向图。

图1 有向图和无向图

2.1.2 定理及推论

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　　欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。
　　定理2.1　无向图G存在欧拉通路的充要条件是：
　　G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
　　推论2.1：
　　1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。
　　2) 当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。
　　3) G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。
　　例如图1(a)所示的无向图，存在两个奇度顶点v2和v5，所以存在欧拉通路，且欧拉通路必以这两个顶点为起始顶点和终止顶点；该无向图不存在欧拉回路。图2-1(b)所示的无向图为欧拉图。
　　定理2.2　有向图D存在欧拉通路的充要条件是：
　　D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。
　　推论2.2：
　　1) 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
　　2) 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
　　3) 有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。
　　例如图1(c)所示的有向图，顶点v2和v4入度和出度均为1；顶点v1的出度为2、入度为1，二者差值为1；顶点v3的出度为1、入度为2，二者相差为-1；所以该有向图只存在有向欧拉通路，且必须以顶点v1为始点，以顶点v3为终点。图1(d)所示的有向图不存在有向欧拉通路。

2.2 解题步骤

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　　首先根据输入构造图的邻接矩阵，通过邻接矩阵判断图是否连通，不连通说明不可以一笔画完，如果连通，再判断图是否有奇度顶点，有就不能一笔画完，没有就说明可以一笔画完。

3 算法实现

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import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

/**
 * Author: 王俊超
 * Time: 2016-05-12 09:04
 * CSDN: http://blog.csdn.net/derrantcm
 * Github: https://github.com/Wang-Jun-Chao
 * Declaration: All Rights Reserved !!!
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
//        Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data3.txt"));
        while (scanner.hasNext()) {
            int n = scanner.nextInt();
            int m = scanner.nextInt();

            // 记录边
            int[] edge = new int[m * 2];

            for (int i = 0; i < edge.length; i++) {
                edge[i] = scanner.nextInt();
            }

            if (draw(n, edge)) {
                System.out.println("Yes");
            } else {
                System.out.println("No");
            }

        }

        scanner.close();
    }

    /**
     * 图是否可以笔画完（判断无向图是否存在欧拉通路）
     *
     * @param n    顶点点个数，顶点的编号从1到n
     * @param edge 边的连接数组，两个一起表示一条边
     * @return true：可以一笔画完，false：不可以一笔画完
     */
    private static boolean draw(int n, int[] edge) {

        int[] vertex = new int[n + 1];

        // 统计每个顶点的度数
        for (int i : edge) {
            vertex[i]++;
        }


        ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
        // 无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
        ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

        // 统计奇度顶点个数
        int count = 0;
        for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {
            if (vertex[i] % 2 != 0) {
                count++;
            }
        }

        // 奇度顶点不为0且不为2说明不存在欧拉通路
        if (count != 0 && count != 2) {
            return false;
        }


        // 构造边的邻接矩阵
        int[][] graph = new int[n + 1][n + 1];

        for (int i = 0; i < edge.length; i += 2) {
            int v = edge[i];
            int w = edge[i + 1];
            graph[v][w]++;
            graph[w][v]++;
        }

        // 清空顶号入度标记，将它作为访问标记使用，0表示没有访问过，1表示访问过
        for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
            vertex[0] = 0;
        }

        List<Integer> list = new ArrayList<>(n);

        // 有向图连通，那么从任意一个顶点都可以访问到其它的顶点
        // 从第一个顶点开始访问，进行广度优先遍历
        vertex[1] = 1;
        list.add(1);
        while (!list.isEmpty()) {
            int v = list.remove(0);
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                // 边(v, i)，t为0说明v不能直接到i
                int t = graph[v][i];
                // 如果(v, i)可达，且顶点i没有被访问过，就标记已经访问过，添加到访问队列中
                if (t != 0 && vertex[i] == 0) {
                    vertex[i] = 1;
                    list.add(i);
                }
            }
        }


        for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {
            // 还有顶点没有访问到，说明图不连通
            if (vertex[i] == 0) {
                return false;
            }
        }

        return true;
    }
}

4 测试结果

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5 其它信息

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因为markddow不好编辑，因此将文档的图片上传以供阅读。Pdf和Word文档可以在Github上进行【下载>>>】。